线性代数1:复数

线性代数主要研究有限维向量空间(finite-dimensional vector spaces) 上的线性映射(linear maps). 这些术语的含义我们以后会搞清楚的。线性代数系列博文将给出向量空间的定义,并讨论向量空间的基本性质。在线性代数中,如果研究实数的同时也研究复数,我们就会更深刻地理解各种定理,所以我们先介绍复数及其基本性质。

复数

你应该已经熟悉实数集 \mathbb{R} 的基本性质。复数的发明使得我们可以对负数取平方根。关键思想是假定 -1 有平方根,将 \sqrt{-1} 计为 i,并按照通常的算数法则对 i 进行计算。形式上,一个复数(complex number) 就是一个有序的数对 (a,b),其中 a,b\in \mathbb{R}, 但是我们把它写成 a+bi. 把所有复数构成的集合记为 \mathbb{C}:

\mathbb{C}=\{a+bi: a,b\in \mathbb{R}\}

如果 a\in\mathbb{R}, 则将 a+0ia 看成一样的。所以可以将 \mathbb{R} 看作 \mathbb{C} 的一个子集。我们也通常将  0+bi 直接写成 bi,将 0+1i 直接写成 i

\mathbb{C} 上的加法和乘法定义如下:

\begin{align*} &(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\\ &(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \end{align*}

其中 a,b,c,d\in\mathbb{R}. 在这样的乘法中,你应该验证 i^2=-1, 不要去背上面的复数乘法公式,只要记住 i^2=-1 并利用通常的运算法则就可以推导出这组公式。


例:计算(2+3i)(4+5i)

解:

\begin{align*} (2+3i)(4+5i)&=2\cdot 4+ 2\cdot(5i)+(3i)\cdot 4+(3i)(5i)\\ &=8+10i+12i-15\\ &=-7+22i \end{align*}


复数运算的性质

利用我们已经熟知的实数的性质,你应该验证,\mathbb{C} 上的加法和乘法满足以下性质:

  1. 交换性 (commutativity): 对所有 \alpha ,\beta \in \mathbb{C}, 都有 \alpha +\beta =\beta +\alpha\alpha \beta =\beta \alpha;
  2. 结合性 (associativity): 对所有 \alpha ,\beta ,\lambda \in \mathbb{C}, 都有 (\alpha +\beta )+\lambda =\alpha +(\beta +\lambda )(\alpha \beta )\lambda =\alpha (\beta \lambda );
  3. 单位元 (identities): 对所有 \lambda \in \mathbb{C}, 都有 \lambda +0=\lambda\lambda 1=\lambda;
  4. 加法逆 (additive inverse): 对所有 \alpha \in \mathbb{C},都存在唯一的一个 \beta \in \mathbb{C},使得 \alpha +\beta =0;
  5. 乘法逆 (multiplicative inverse): 对所有 \alpha \in \mathbb{C}\alpha \neq 0, 都存在唯一的一个 \beta \in \mathbb{C}, 使得 \alpha \beta =1;
  6. 分配性 (distributive property): 对所有 \alpha ,\beta ,\lambda \in \mathbb{C}, 都有 \lambda (\alpha +\beta )=\lambda \alpha +\lambda \beta.

例:证明对所有 \alpha ,\beta ,\lambda \in \mathbb{C},都有 \alpha \beta =\beta \alpha.

解:假设 \alpha =a+bi 同时 \beta =c+di,其中 a,b,c,d\in\mathbb{R}. 根据复数乘法的定义有

\begin{align*} \alpha \beta &= (a+bi)(c+di)\\ &=(ac-bd)+(ad+bc)i \end{align*}

\begin{align*} \beta \alpha&=(c+di)(a+bi)\\ &=(ca-db)+(cb+da)i \end{align*}.

根据以上两组公式以及实数加法和乘法的交换律得出 \alpha \beta =\beta \alpha.


定义:-\alpha, 减法,1/\alpha, 乘法

\alpha ,\beta \in \mathbb{C}

  • -\alpha 来表示 \alpha 的加法逆(additive inverse). 因而 -\alpha 就是使得 \alpha+(-\alpha)=0 的唯一复数.
  • \mathbb{C} 上的减法被定义为 \beta -\alpha =\beta +(-\alpha ).
  • 对于 \alpha \neq 0, 用 1/\alpha 表示 \alpha 的乘法逆(multiplicative inverse). 因而 1/\alpha 就是使得 \alpha (1/\alpha )=1 的唯一复数.
  • \mathbb{C} 上的除法被定义为 \beta /\alpha =\beta (1/\alpha ).

为了更加方便地给出对于实数和复数的定义和定理,我们在之后的博文中将用 \mathbb{F} 表示 \mathbb{R}\mathbb{C} (选用字母 \mathbb{F} 是因为 \mathbb{R}\mathbb{C} 都是所谓域(field) 的例子,数域有详细的定义,只是这里我们并不讨论 \mathbb{R}\mathbb{C} 之外的域)。我们将在 \mathbb{F} 中讨论矩阵,用 \mathbb{F} 中的元素 a_{ij} 形成一个 mn 列矩阵

A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)

叫作 \mathbb{F} 上的一个矩阵。

 

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