线性代数1：复数

线性代数主要研究有限维向量空间(finite-dimensional vector spaces) 上的线性映射(linear maps). 这些术语的含义我们以后会搞清楚的。线性代数系列博文将给出向量空间的定义，并讨论向量空间的基本性质。在线性代数中，如果研究实数的同时也研究复数，我们就会更深刻地理解各种定理，所以我们先介绍复数及其基本性质。

复数

你应该已经熟悉实数集 的基本性质。复数的发明使得我们可以对负数取平方根。关键思想是假定 有平方根，将 计为 ，并按照通常的算数法则对 进行计算。形式上，一个复数(complex number) 就是一个有序的数对 ，其中 , 但是我们把它写成 . 把所有复数构成的集合记为 :

如果 , 则将 和 看成一样的。所以可以将 看作 的一个子集。我们也通常将  直接写成 ，将 直接写成

上的加法和乘法定义如下：

其中 . 在这样的乘法中，你应该验证 , 不要去背上面的复数乘法公式，只要记住 并利用通常的运算法则就可以推导出这组公式。

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例：计算

解：

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复数运算的性质

利用我们已经熟知的实数的性质，你应该验证， 上的加法和乘法满足以下性质：

1. 交换性 (commutativity): 对所有 , 都有 和 ;
2. 结合性 (associativity): 对所有 , 都有 和 ;
3. 单位元 (identities): 对所有 , 都有 和 ;
4. 加法逆 (additive inverse): 对所有 ，都存在唯一的一个 ，使得 ;
5. 乘法逆 (multiplicative inverse): 对所有 且 , 都存在唯一的一个 , 使得 ;
6. 分配性 (distributive property): 对所有 , 都有 .

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例：证明对所有 ，都有 .

解：假设 同时 ，其中 . 根据复数乘法的定义有

和

.

根据以上两组公式以及实数加法和乘法的交换律得出 .

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定义：, 减法，, 乘法

对 ，

• 用 来表示 的加法逆(additive inverse). 因而 就是使得 的唯一复数.
• 上的减法被定义为 .
• 对于 , 用 表示 的乘法逆(multiplicative inverse). 因而 就是使得 的唯一复数.
• 上的除法被定义为 .

为了更加方便地给出对于实数和复数的定义和定理，我们在之后的博文中将用 表示 或 (选用字母 是因为 和 都是所谓域(field) 的例子，数域有详细的定义，只是这里我们并不讨论 和 之外的域)。我们将在 中讨论矩阵，用 中的元素 形成一个 行 列矩阵

叫作 上的一个矩阵。