算法入门知识

算法学习

CPP-STL

• vector:就像数组一样，vector也采用的连续存储空间来存储元素。也就是意味着可以采用下标对vector的元素进行访问，和数组一样高效。但是又不像数组，它的大小是可以动态改变的，而且它的大小会被容器自动处理。

  • erase():O(n)复杂度

  • vector.size()是O（1）

    扩展：string.length()是O(n)复杂度

  • insert(p,x) ：在向量p位置处插入元素x，p为指向该位置的迭代器，复杂度是O(n)

  • 注意：vector和迭代器使用不当会引发内存问题，详解见该资料 。

• queue:

  • 无法通过迭代器遍历queue，只能不断pop再push

• string:

  • length()为O(n)复杂度

  • append接的是字符串，不是字符char。

  • erase(pos,size_n)，从pos位置开始删除指定数量的元素。

    erase(pos)删除pos后的所有元素。要注意的是删除后字符串长度改变，并且下标提前。

  • find查找字串，成功返回起始下标，否则返回string::npos。

  • push_back(char a)

  • include中有：to_string()

  • substr(int off,int len)若pos的值超过了string的大小，则抛出异常，若pos + len 超过了string大小，则只会拷贝到末尾，也可以substr(off)，默认拷贝后面所有字符

  • 一般来说用容器存储字符串都是用string类型，而不是char*，因为string默认好了ascii码的排序方法，如果用char\*的话要自己重新定义比较函数。

• lower_bound()

  • template <class ForwardIterator, class T>
    ForwardIterator lower_bound (ForwardIterator first, ForwardIterator last,  const T& val);//原型1
    
    template <class ForwardIterator, class T, class Compare>
    ForwardIterator lower_bound (ForwardIterator first, ForwardIterator last, const T& val, Compare comp);//原型2，多了一个Compare，就是一个比较器，可以传仿函数对象，也可以传函数指针
    

  • 用于二分查找。lower_bound()在first和last中的前闭后开区间，进行二分查找。返回从first开始的第一个大于或等于val的元素的地址。如果所有元素都小于val，则返回last的位置。

  • first,last: 迭代器在排序序列的起始位置和终止位置，使用的范围是[first,last).包括first到last位置中的所有元素。其中first是数组首个元素，last是数组尾元素的下一位

  注意，不是所有容器都可以通过该方法返回的地址减去first得到排序后目标值的序号。一般只有vector,像set容器，我们需要自己写一个树状数组来实现该功能。

• next_permutation(a,a+n)

  • 产生全排列，当序列存在下一个全排列时返回true，否则返回false， 要求原序列升序

  • #include 
    using namespace std;
    int a[3] = {1, 2, 3};
    int main() {
    do {
    cout << a[0] << " " << a[1] << " " << a[2] << endl;
    } while (next_permutation(a, a + 3));
    return 0;
    }
    //也支持cmp函数来自定义比较规则
    

  • 

  • 需要强调的是，next_permutation（）在使用前需要对欲排列数组按升序排序，否则只能找出该序列之后的全排列数。比如，如果数组num初始化为2,3,1，那么输出就变为了：

    

• priority_queue

  • 默认大顶堆：priority_queue a。反之，priority_queue, greater > c，这样就是小顶堆，不能默认声明。大顶堆先取出最大的元素，用于顺序排序。

  • 对于非内置类型，我们需要自己定义排序方法，通常的方法有：

    struct Point {
    int x, y;
    friend bool operator<(Point a, Point b) {
    return a.x < b.x;
    }
    };
    priority_queue<Point> a; //大顶堆
    
    struct Point {
    int x, y;
    friend bool operator<(Point a, Point b) {
    return a.x > b.x; // 反向定义小于号
    }
    };
    priority_queue<Point> a; //小顶堆方法一 
    
    struct Point {
    int x, y;
    friend bool operator>(Point a, Point b) {
    return a.x > b.x;
    }
    };
    priority_queue<Point, vector<Point>, greater<Point> > a; //小根堆方法二
    
    

• map

  • 若map已经存在某个关键字时，insert操作是不能再插入数据的，但是用数组方式就不同了，它可以覆盖以前该关键字对应的值。所以推荐使用数字下标方式。
  • find返回迭代器指向当前查找元素的位置否则返回map::end()的位置。
  • 若某一键值已经存在，Insert不会替代而是失效。
  • map使用上有一个问题是，你如果你想查找一个值存不存在需要用.find和.end（或者.count， 新标准下可以用.exists），不能通过[]来判断，且实际上，每次你调用[a]，如果你的map里没有键为a的 键对，map里就会出现键为a的键对。这是map的实现原理决定的
  • **扩展：**map和set的底层机制就是红黑树，一种自平衡二叉搜索树。

• unordered_set与unorderd_map

  • 功能与set和map一样，但底层实现为哈希表，其建立比较消耗时间，而查询、插入、删除的速度都在常 数级别，可以看成O(1)，但如果出现hash冲突，性能会下降很多，最坏情况下会退化成O(n) unordered_set与unordered_map是无序的，而set和map是有序的
  • 一般情况下，unordered_set和unordered_map性能都很好，但有些题目会故意卡这两个容器，其数据 会造成大量的哈希冲突进而造成TLE！ 为了减少不必要的罚时，在比赛中如果O(logn)级别的复杂度够用，就不要使用unordered_map，请只在O(logn)解决不了问题时，再考虑使用。

• multimap

  • 和map容器相比，multimap未提供at()成员方法，也没有重载[ ] 运算符。
    • 这意味着，map容器中通过指定键获取指定键值对的方式，将不再适用于multimap容器。
      其实这也很好理解，因为multimap容器中指定的键可能对应多个键值对，而不再是一个。
      另外，由于multimap容器可存储多个具有相同键的键值对，因此lower_bound()、upper_bound()、equal_range()以及count()方法经常会用到。

• find

  • InputIterator find (InputIterator first, InputIterator last, const T& val);
  • 其中，first 和 last 为输入迭代器，[first, last) 用于指定该函数的查找范围；val 为要查找的目标元素。另外，该函数会返回一个输入迭代器，当 find() 函数查找成功时，其指向的是在 [first, last) 区域内查找到的第一个目标元素；如果查找失败，则该迭代器的指向和 last 相同。

• cin 和 getline

  • 从流中提取数据时**std::cin** 函数从终端输入是跳过前导空白符(空格 tab 回车等 不会出现在终端的符号)，即cin从第一个非空白符开始读，直到下一个是空白符或文件结束为止（意思是不吸收该空白符，此时空白符在仍然在缓冲区中，如果下一刻读取一个CHAR字符，需要先处理缓存区中的空白符，一般是用getchar()处理）。
  • getline可以读取空格
  • cin.getline(char *p,int size)，p是指针
  • getline(cin,string s)是处理字符串（string类),在#include空间，注意不是string.h。我通常使用这个函数实现读取含空白符的字符串。
    • 也可以利用该函数读取字符串实现JAVA中的string.split()的效果，具体我记录在本文第二节。

• atoi

  • 头文件stdlib.h，例子：int num = atoi(str.c_str())。

• memset函数原型：void *memset(void *s, int c, size_t n);

  • 通过使用memset可以快速地对高维数组等进行初始化，但是需要注意其无法任意赋值，因为它是按照字节对内存进行初始化。所以不能用它将int数组出初始化为0和-1之外的其他值（除非该值高字节和低字节相同）。

  • c的实际范围应该在0~255，因为memset函数只能取c的后八位给所输入范围的每个字节。也就是说无论c多大只有后八位二进制是有效的。当然，不同的机器上int的大小可能不同，所以n最好用sizeof()函数。

    • 例子：对于int a[4]，memset(a, -1, sizeof(a)) 与 memset(a, 511, sizeof(a)) 所赋值的结果一样都为-1：

      因为 -1 的二进制码为（11111111 11111111 11111111 11111111）（补码形式。关于负数的补码）

      511 的二进制码为（00000000 00000000 00000001 11111111）；
      后八位均为（11111111），所以数组中的每个字节都被赋值为（11111111）

  • 注意所要赋值的数组的元素类型，因为是对字节赋值，所以对于char和int数组是不同的。

  • 具体用法实例：

    • 初始化数组

      char str[100];
      memset(str,0,100);
      

    • 清空结构体类型的变量

      typedef struct Stu{
      	char name[20];
      	int cno;
      }Stu;
      Stu stu1; 
      memset(&stu1, 0 ,sizeof(Stu));
      
      Stu stu2[10]; //数组
      memset(stu2, 0, sizeof(Stu)*10);
      

    • 为整型数组赋值

      memset(a,0,sizeof(a))//赋0
      memset(a,-1,sizeof(a))//赋-1
      memset(a,0x3f,sizeof(a))//赋int32最大值，0x3f3f3f3f的十进制是1061109567，是10^9级别的，而一般场合下的数据都是小于10^9的，所以它可以作为无穷大使用而不致出现数据大于无穷大的情形。 
      memset(a,0x8f,sizeof(a))//赋int32最小值
      

      0x3f3f3f3f是一个很有用的数值，它是满足以下两个条件的最大整数。

      1、整数的两倍不超过 0x7f7f7f7f，即int能表示的最大正整数。

      2、整数的每8位（每个字节）都是相同的。

      我们在程序设计中经常需要使用 memset(a, val, sizeof a) 初始化一个数组a，该语句把数值 val（0x00~0xFF）填充到数组a 的每个字节上，所以用memset只能赋值出“每8位都相同”的 int。

      当需要把一个数组中的数值初始化成正无穷时，为了避免加法算术上溢出或者繁琐的判断，我们经常用 memset(a, 0x3f, sizeof(a)) 给数组赋 0x3f3f3f3f的值来代替。不用0x7f7f7f是为了防止松弛操作。

  • 与fill(array.begin(),array.end(),val)的区别：虽然复杂度都是O(n)，但是memset更快，但是fill可以赋出特殊值。

公用技巧/经验

• DFS经验

  • 行是数组第一维，列是第二维，在定义dx、dy时特别要注意。
  • visit数组记得给最初进入的dfs点标志。
  • 只有遍历完全后才返回false

• 分离数字技巧：一个数，想从低位得到位数，用取余10。从高位得到位数，用除10。

  例如，12345%10 = 5,12345%100 = 45（低位）。12345/10 = 1234,12345/100 = 123（高位）。

• 关于整除的一个技巧： 假如求一个能被k整除最小值min，可以将min = submin / k * k，此时submin也许有更好的途径去求。要注意的是，一般都是有整数要求，此时是 :
  $$min=\lceil submin/k\rceil \ast k$$

• 关于打表： 有些题会根据题意推出递归式，我们为提前求出所有索引对应的值以及索引边界，或者找出对应规律，叫打表。

• CPP中代替JAVA.split()函数的技巧

  • 利用getchar()吸收无效字符。

  • 利用字符串getline和stringstream和cin共同达到目的。

    • 例如：

      while (getline(cin, tempLine))
      	{
      		int len = tempLine.length();
      		for (int i = 0; i < len; i++)
      		{
      			if (tempLine[i] == ':')
      				tempLine[i] = ' ';
      		}
      		stringstream s(tempLine);
      		string temp2 = "";
      		s >> temp2; //此时就可以得到被:分割的字符，可以先用vector用循环先存储起来
      	}
      

  • 套用现成函数：

    void SplitString(const std::string& s, std::vector& v, const std::string& c)
    {
      std::string::size_type pos1, pos2;
      pos2 = s.find(c);
      pos1 = 0;
      while(std::string::npos != pos2)
      {
        v.push_back(s.substr(pos1, pos2-pos1));
     
        pos1 = pos2 + c.size();
        pos2 = s.find(c, pos1);
      }
      if(pos1 != s.length())
        v.push_back(s.substr(pos1));
    }
    

• 经验*：scanf和cin同时使用会导致部分编译器下的结果出错。最好同时只用一种。

• 经验：多项式极有可能会涉及大数，此时使用Java很好。

• 经验：全局数组能开到4e8 * int，栈能开到518028 * int。c++递归深度最深 20000多次。当超出递归深度时，要么转为非递归循环模式，要么是推出数学表达式使用循环推出。

三 穷竭搜索

• 深度优先搜索更节省空间，二者时间复杂度都是O(M * N)。

四 位运算

• “<<”：左移运算符，将运算符左边的操作数全部左移指定的位数，移出左边界被屏蔽，右边界用0填充空位，本质上是操作数乘上2ⁿ。例如：1 << n = 2 ⁿ ，n << 1 = 2 * n。

• “>>” 大致功能类比左移，需要注意的是填补空位时若原先最高位是1，则填充1，若是0，则填充0。其本质是除上2ⁿ ，在c++中是向下取整。

• 按位与：&，例如a&b即a和b的二进制形式中每一位进行一一位与比较。

  按与或：|

  异或：^

  非：~（取反）

  常见应用："i&1"判断i是否位奇数

五 动态规划（Dynamic programming）

• 记忆化搜索与动态规划区别：记忆化搜索只是剪枝的递归，其递归深度依然很深，需要很大的调用栈，内存占用大，而动态规划只是调用一次，递归深度为1。

六 模运算

• 基本运算规则：

• 降幂运算推导：

• 当
  $$a\cdot c\equiv b\cdot c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$
  求a、b之间的关系：

  其中涉及一个知识点：(a-b)被m整除，代表a % m == b % m。

  $$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m/gcd(m,c))$$

• 快速幂：反复平凡法

  合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数，素数（质数）与之相反。

代码：

typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x, ll n,ll mod)
{
    ll res = 1;
    while(n > 0)
    {
        if(n&1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod; //将x平方
        n >>= 1; //二进制右移
    }
    return res;
}

七 最大公约数|最小公倍数应用

• 最大公约数用GCD，最小公倍数则是二者之积除以最大公约数。

八数学基础

• 单位圆内接正n边形的面积公式

$$n/2\ast sin(2\ast pi/n)R^2$$

• 柯西不等式：

• c++中自己定义pi ： define pi 3.1415926

九 CPP应用

• 精度的控制，参考文章：小数点精度的控制——C++ - 知乎 (zhihu.com)

  ​ (28条消息) c++ 保留有效数字和小数位_吉大秦少游的博客-CSDN博客_c++ 有效数字

  • 仅对数字长度来控制：仅使用setprecision(int num)，要注意头文件是iomanip，当整数部分无法显示完全会变成指数形式，同时会有舍入情况。

  • 保留n位小数：结合setiosflags(ios::fixed)和setprecision(int num)

    double a = 3.141564;
    cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(3) << a;            // a = 3.141
    

十 JAVA语言应用

• 输出时忽略若浮点数等于整数忽略小数点，可以直接以浮点数和其强转为整数的数值进行比较，相同则直接取整数，即去掉小数点；否则，即不同时，原样输出
• MAP遍历时可以修改值，但不能随意删除或添加
• set<> = m.keyset()是浅复制，若想深拷贝可以，set<> = new set<>(m)。
• cpp的auto，Java的var