数学建模——排队论笔记

一、排队论的基本概念

1. 排队的过程
   

2. 基本组成——输入过程
   （1） 顾客总体（顾客源）数量
   有限/无限
   （2） 顾客到来的方式
   单个/成批
   （3） 顾客到达间隔时间
   一般是服从某一概率分布（如指数分布）
   （4） 顾客的行为假定
   在未服务之前不会离开
   当看到队列很长的时候离开
   从一个队列移动到另一个队列

3. 基本组成——排队规则
   （1） 队列容量
   有限/无限
   （2） 排队规则
   a. 先来先服务（FCFS）——生活中最常见，如窗口购票
   b. 后来先服务（LCFS）——对堆放的木材的取用
   c. 随机服务（RSS）——热线电话
   d. 有优先权的服务（PS）——老人优先，VIP
   e. “一般规则（GD）”——（不予介绍）

二、排队模型的数量指标

1. 如何研究排队现象？

刻画一个服务机构的服务是好还是不好，服务质量是高还是低，需要用指标来衡量。由于随机变量的结果具有很大的不确定性，我们尽量不用随机变量，而使用随机变量的数字特征来刻画。
平均系统队长：排队系统中顾客的平均值，Ls
平均队列长：排队系统中等待顾客服务的平均值，Lq
平均逗留时间：一个顾客在系统中停留的时间的平均值,等待时间+被服务的时间，Ws
平均等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间的平均值Wq
这些指标即是评价一个系统的服务状态的好坏的标准，如何得到指标的值？引入概念——系统状态

我们在考察一个排队系统的服务质量好坏时主要是看一个系统在长期的，稳定状态下的表现，所以我们有了以下的概念

我们更关心的是这个稳态解。

2. 排队论研究的问题：

三、排队系统中的常见分布

1. 泊松分布

若满足以下的三个条件，称顾客到达形成参数λ的泊松流
在[t,t+Δt]内有：

• 有一个顾客到达的概率为λΔt+o(Δt);
• 没有一个顾客到达的概率1-λΔt+o(Δt)
• 多于一个顾客到达的概率为o(Δt )-------------表示几乎不可能

即，在这个很短的时间内，要么没有顾客来，要么只有一个顾客，多于一个顾客到达的概率几乎为0.

2. 负指数分布

当顾客流为泊松流（即满足上述泊松分布的三个条件）时，相邻两个顾客到达的时间间隔T满足负指数分布---------------------已经经过理论证明，记住即可
同理，系统中一个顾客的服务时间V也满足负指数分布
分布函数:

期望（均值）:

若顾客流满足泊松分布，服务时间服从参数μ的负指数分布，则在时间[t,t+Δt]内

• 有一个顾客被完全服务的概率是μΔt+o(Δt);
• 没有一个顾客被完全服务的概率是1-λΔt+o(Δt);
• 多于一个顾客被完全服务的概率是o(Δt);

3. 埃尔朗分布----刻画多服务台一起服务的情形

四、排队模型的记号方案

(Kenda || 记号)一般形式：X/Y/Z/A/B/C
X：顾客到达时间间隔分布
Y：服务时间分布
Z：服务台数目
A：排队系统允许的最大顾客容量
B：顾客总体数量
C：排队规则
有例子：
M/M/1/∞/∞/FCFS
其中X和Y有以下的取值情况：

Z和AB有以下的取值情况：

当服务规则不写时默认为“先到先服务”.

五、几种排队论模型

1. 单服务台模型
   设输入过程服从泊松流，服务时间服从负指数分布，单服务台
   （1）标准型：M\M\1\∞\∞（M\M\1）
   符号解析：
   顾客源符合泊松分布，到达时间间隔服从负指数分布
   服务时间相互独立，都服从负指数分布
   “1”代表单服务台
   顾客源和顾客容量无限
   状态变换表
   现在考虑在t+Δt时刻有n个顾客，即状态为n，概率为Pn (t+Δt)
   
   于是我们得到：
   
   两端除以Δt,当Δt→0时
   
   综上，我们已经得到了系统状态为n的概率的表达式。
   如何计算数量指标？
   i. 平均系统队长（包含正在被服务的那个对象）
   在概率论中，平均值用数学期望来刻画。针对于队长来说，n的取值是非负整数，即是离散型的随机变量，所以我们使用离散型随机变量的均值计算公式：
   
   ii. 平均队列长（不包含正被服务的对象，且当前讨论的为单服务台）
   
   iii. 平均逗留时间
   若一个顾客到达了系统，系统内已经有了k个顾客，（这个事件发生的概率即系统状态为k的概率P_k）则该顾客需要等候平均等待时间k/μ才能轮到被服务，而他本人的平均服务时间为1/μ，所以他在系统内花时间的平均值为(k+1)/μ 。
   

   iv. 平均等待时间（平均逗留时间减去被服务的时间）
   
   c. Little公式
   
   d. 稳态概率方程的简便写法
   由上可知，稳态概率方程的求解步骤较为复杂，下面介绍一种简便的方法来写出稳态概率方程——状态转移图
   针对讨论的模型M/M/1
   我们引入“概率流”的概念，将系统的某一状态看做一个横截面，那么流入这个横截面的“水流量”必定等于流出这个横截面的“水流量”。
   
   我们针对某一个截面，写出“水流守恒”表达式，要注意的是状态为0时的守恒需要单独给与表达式：
   （2） 系统容量有限型：M\M\1\N\∞
   模型含义：顾客到达时间服从泊松分布，到达时间间隔服从负指数分布，服务时间服从负指数分布，单服务台。但排队系统的容量是有限的N。
   我们利用上述的状态转移图，稍作修改：
   我们先根据上图写出状态转移方程
   
   由于系统容量有限，所以顾客能否进入系统是与系统容量息息相关的。这里我们需要引入一个概念——有效到达率λ_e
   
   而且由于系统的状态与系统容量相关，所以前面的状态归一性表达式也要发生变化：
   
   
   
   （3）顾客源有限型：M\M\1\∞\m
   顾客源只有m个顾客，每个来到并接受服务后，仍然回到顾客整体，即可以再次到来接受服务，所以实际上排队系统中的顾客数永远不会超过m个，即与模型M/M/1/m/m意义相同
   要注意的是这里仍然存在有效到达率的概念，根据上述的理解：
   λe=λ(m-Ls)
   其中m-Ls表示还能允许的强度，λ表示每个人的强度，相乘得到有效的强度
   
   
   然后利用归一性再重新计算P0和平均队长等指标即可。
   
   （4） 排队论问题建模流程
   

2. 多服务台模型
   （1）标准型：M/M/c
   顾客流为泊松流，每个窗口的服务率为μ，那么整个机构的平均服务率则有以下的两种情况：
   平均服务率：nμ-----n＜c
   平均服务率：cμ-----n≥c
   令ρ=λ/cμ，称为系统服务强度，当ρ＞1时会出现排队现象
   
   我们写出系统稳态概率方程：
   
   之后根据P0解出数量指标即可。
   （2） 系统容量有限型：M/M/c/N/∞
   当系统最大容量为N（N≥c），当系统客满时有c个接受服务，N-c在排队，在有顾客来会被拒绝服务，服务率的情况和系统服务强度同（1）
   
   
   
   （3） 顾客源有限型：M/M/c/∞/m
   等价于M/M/c/m/m
   

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3. 排队系统最优化问题
   （1） 静态最优化，指服务机构根据一定的指标，找出参数的最优值，使系统设计最经济。
   （2） 动态最优化：对已有队伍寻求某一目标函数达到最优的运营机制。

六、作业题目分析

1. 例1：某耽误医院的一个科室有一位医生值班，经过长期的观察，每小时平均有4个病人，医生每小时平均可以诊断5个病人，病人的到来服从泊松分布，诊断时间服从负指数分布。
   （1） 试分析该科室的工作状况
   （2） 如果要求99%以上的病人有座位坐，该科室至少应该设置多少座位
   （3） 如果该科室每天24小时上班，病人因看病一小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位平均要损失多少元？
   （4） 如果该科室提高看病速度，每小时平均可以诊断6个人，单位每天可以减少多少损失？可以减少多少座位？
   解：（1）λ=4/60 μ=5/60 ρ=λ/μ=4/5
   所以L_s=λ/(μ-λ)=4
   L_q=ρL_s=3.2
   W_s=1/(μ-λ)=60(min)
   W_q=ρW_s=48(min)
   座位相当于设置系统容量
   
   反解解得m大于等于20.
   损失金额易得为4241*96=2880（元）
   重新计算数字指标得
   损失减少为原来一半，即1440元，减少了9个座位。

2. 例2：
   某店有一个修理工人，顾客到达满足泊松流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，修理完成平均需要19分钟，求：
   （1） 店内的空闲时间：
   解：该题目为M/M/1模型
   
   解得P_0=1-3/19=16/19 ,所以空闲时间为3/19*60=9.47分钟
   （2） 有4个顾客的概率：
   解：
   
   得P_4=(3/19)^4 (1-3/19)=0.000523
   （3）至少有一个顾客的概率：
   1-P0=3/19
   （4） 店内顾客的平均数：
   
   （5） 平均等待修理的时间
   
   （6） 一个顾客在店内逗留超过15分钟的概率