数据结构——串——王道

目录

串

定义

串和线性表的联系及不同

串的基本操作

存储结构

顺序存储

链式存储

基本操作的实现

字符串模式匹配算法

朴素模式匹配算法

KMP算法

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串

定义

串，即字符串( String）是由零个或多个字符组成的有限序列。一般记为

其中，S是串名，单引号括起来的字符序列是串的值;可以是字母、数字或其他字符;串中字符的个数 n 称为串的长度。n =0时的串称为空串（用表示）。

例:
S="Hello World!"                 T="wait wait wait baby" 

一些概念：

名称	含义	举例
子串	串中任意个连续的字符组成的子序列。	"wait w'，'baby’是串T的子串
主串	包含子串的串。	T是子串 'baby' 的主串
字符在主串中的位置	字符在串中的序号。	‘o'在S中的位置是5第一次出现)
子串在主串中的位置	子串的第一个字符在主串中的位置。	'World'在S中的位置为7

注意：位序从1开始排

串和线性表的联系及不同

串是一种特殊的线性表，数据元素之间呈线性关系。

串的对象限定为字符集（如中文字符、英文字符、数字字符、标点字符等）

串的基本操作，如增删改查等通常以子串为操作对象。

串的基本操作

假设有串T=""，S="Who are you?”，W="are''

StrAssign(&T,chars)	赋值操作。把串T赋值为chars。
StrCopy(&T,S)	复制操作。由串s复制得到串T。
StrEmpty(S)	判空操作。若s为空串，则返回TRUE，否则返回FALSE。
StrLength(S)	求串长。返回串s的元素个数。
ClearString(&S)	清空操作。将s清为空串。
DestroyString(&S)	销毁串。将串s销毁（回收存储空间）。
Concat(&T,S1,S2)	串联接。用T返回由S1和S2联接而成的新串
Index(S,T)	定位操作。若主串S中存在与串T值相同的子串，则返回它在主串S中第一次出现的位置;否则函数值为0。
StrCompare(S,T)	比较操作。若S>T，则返回值>0;若S=T，则返回值=0﹔若S

存储结构

顺序存储

#define MAXLEN 255    //预定义最大串长为255
//静态数组实现（定长顺序存储）
typedef struct{
    char ch[MAXLEN];  //每个分量存储一个字符
    int length;       //串的实际长度
}SString;


//动态数组实现（堆分配存储）
typedef struct{
    char *ch;         //按串长分配存储区，ch指向串的基地址
    int length;       //串的长度
}HString;
HString s;
s.ch =(char *)malloc(MAXLEN * sizeof(char));
s.length = 0;

 优点：字符的位序和数组下标相同。

链式存储

 方式一：每个结点存储一个字符

typedef struct StringNode{
    char ch;    //每个结点存储1个字符
    struct StringNOde * next;
}StringNode,*String;

方式二： 每个结点存储多个字符，没有字符的位置可以用'#'或'\0'补足

typedef struct StringNode{
    char ch[4];        //每个结点存储多个字符
    struct StringNode *next;
}StringNode,*String;

基本操作的实现

#define MAXLEN 255     //预定义最大串长为255
typedef struct{
    char ch[MAXLEN];   //每个分量存储一个字符
    int length;        //串的实际长度
}SString;

 SubString(&Sub,S,pos,len)

求子串。用sub返回串S的第pos个字符起长度为len的子串。

//求子串
bool SubString (SString &Sub,SString S,int pos,int len){
    //子串范围越界
    if(pos+len-1 >S.length)
        return false;
    for(int i=pos; i

StrCompare(S,T)

比较操作。若S>T，则返回值>o;若S=T，则返回值=0;若S

int StrCompare(SString S,SString T){
    //从第一个字符开始比较，直到其中一个串的字符先被比较完
    for(int i=1; i<=S.length &&i<=T.length; i++){
        if(S.ch[i]!=T.ch[i])         //字符不相等
            return S.ch[i]-T.ch[i];  //返回字符大小比较
    }
    //扫描过的所有字符都相同，则长度长的串更大
    return S.length-T.length;
}

Index(S,T)

定位操作。若主串S中存在与串T值相同的子串，则返回它在主串S中第一次出现的位置;否则函数值为0。

int Index(SString S,SString T){
    int i=1,n=StrLength(S),m=StrLength(T);    //Strlength(S)是求串长的操作
    SString sub;                //用于暂存子串
    while(i<=n-m+1){            //n-m+1为所有子串的数目
        SubString(sub,S,i,m);   //取出一个子串（从i开始到m结束）
        if(StrCompare(sub,T)!=0)
            i++;                //不相等，进行下一个子串的比较
        else
            return i;            //相等，返回子串在主串中的位置
    }
    return 0;                    //S中不存在与T相等的子串
}

字符串模式匹配算法

朴素模式匹配算法

 字符串模式匹配∶在主串中找到与模式串相同的子串，并返回其所在位置。

子串：主串的一部分，一定存在

模式串：不一定能在主串中找到

逻辑：

设主串长度为n，模式串长度为m，将所有长度为m的子串依次与模式串对比（最多对比n-m+1个子串），直到找到一个完全匹配的子串或所有的子串都不匹配为止。

 和上面实现的Index(S,T)函数一致，即是暴力解法。

int Index(SString S,SString T){
    int i=1,n=StrLength(S),m=StrLength(T);    //Strlength(S)是求串长的操作
    SString sub;                //用于暂存子串
    while(i<=n-m+1){            //n-m+1为所有子串的数目
        SubString(sub,S,i,m);   //取出一个子串（从i开始到m结束）
        if(StrCompare(sub,T)!=0)
            i++;                //不相等，进行下一个子串的比较
        else
            return i;            //相等，返回子串在主串中的位置
    }
    return 0;                    //S中不存在与T相等的子串
}

KMP算法

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt提出的，因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特操作（简称KMP算法）。KMP算法的核心是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是通过一个next()函数实现，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。KMP算法的时间复杂度为O(m+n) 

 首先根据模式串T求next数组出来。

对于模式串T ='abaabc'，可得出以下结论
当第6个元素匹配失败时，可令主串指针i不变，模式串指针j=3
当第5个元素匹配失败时，可令主串指针i不变，模式串指针j=2
当第4个元素匹配失败时，可令主串指针i不变，模式串指针j=2
当第3个元素匹配失败时，可令主串指针i不变，模式串指针j=1
当第2个元素匹配失败时，可令主串指针i不变，模式串指针j=1
当第1个元素匹配失败时，匹配下一个相邻子串,令j=0,i++,j++

并将这些放到next数组中

next[0]	next[1]	next[2]	next[3]	next[4]	next[5]	next[6]
	0	1	1	2	2	3

结合代码逻辑进行处理

//当元素匹配失败时，i不变，j指向next[j]的值
if(S[i] != T[j]) j=next[j];

//当第1个元素匹配失败时，令j=0,i++,j++
if(j==0)  {i++;j++ }

int Index_KMP(SString S,SString T,int next[]){
    int i=1,j=1;
    while(i<=S.length && j<=T.length){
       if(j==0 || S.ch[i]==T.ch[j] ){
            ++j;
            ++i;            //继续比较后继字符
        }
        else
            j = next[j];    //模式串向右移动
    }
    if(j>T.length)
        return i-T.length;  //匹配成功
    else
        return 0; 
}

不同之处在于，

朴素模式匹配算法在匹配失败时，主串指针i会疯狂回溯。

匹配失败时，主串指针i不回溯

求模式串的next数组（手算练习）

next数组的作用：当模式串的第j个字符失配时，从模式串的第 next[j] 的继续往后匹配

对于任何模式串，next[1]为0 ，next[2]为1

其他next:在不匹配的位置前，划一条分界线，模式串一步一步向右移动，直到分界线之前“能对上”，或模式串完全跨过子串，此时j指向哪儿，next[j]的值就是哪儿

对于模式串“google”的next数组为

next[0]	next[1]	next[2]	next[3]	next[4]	next[5]	next[6]
	0	1	1	1	2	1

练习1：

模式串：T=ababaa

序号j	1	2	3	4	5	6
模式串	a	b	a	b	a	a
next[j]	0	1	1	2	3	4

举例：当匹配到第5个元素失败时，模式串向右移动，直到分界线之前的内容一致。此时j指向第3个字符，则next[ 5 ] 为3

 

练习2： 

序号j	1	2	3	4	5
模式串	a	a	a	a	b
next[j]	0	1	2	3	4

 KMP算法的进一步优化

主要是对next数组进行优化，将next数组优化为nextval数组。

 对练习1的next数组进行优化：

序号j	1	2	3	4	5	6
模式串	a	b	a	b	a	a
next[j]	0	1	1	2	3	4
nextval[j]	0	1	0	1	0	4

 举例解释：在匹配到第3个元素失败时，按next[j],j应该指向第1个元素，但我们可以知道第3个元素是a，匹配失败了，所以当 j 指向第一个元素时也会不匹配。所以，我们可以直接将其优化，去除这多余的一步，即当你在第3个元素匹配失败时，next的指向为和第3个元素相同的字符，则 j 的指向再回退一步，指向next[ 1 ]

练习2的优化： 

序号j	1	2	3	4	5
模式串	a	a	a	a	b
next[j]	0	1	2	3	4
nextval[j]	0	0	0	0	4

 next数组——》nextval数组的代码

nextval[1] = 0;
for(int j=2 ; j<=T.length ; j++){
    if(T.ch[next[j]]==T.ch[j])    
        nextval[j] = nextval[next[j]]
    else
        nextval[j] = next[j];
}