代数之整式

关于代数的介绍

算术

算术是代数的基础，可以说是数学的启蒙，我们大多数人都是从 1 +1 = 2开始学习数学的。在我们学习编程时，我们也是先学习如何用一个程序进行加减乘除运算。随后，我们开始学习如何定义变量，再到学习如何定义函数。

我们来看一下维基百科上关于算术一词的解释：

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我们注意几个关键词：最古老、最简单的。而且每个人都在使用的。是一个数学的基础。

其代表运算是：加减乘除

我们可以看到，算术的过程我们相对来说单纯一点，它能够解决一些基本的问题。但如果一些复杂问题，我们只用10个数字来表达所有。在一些复杂场景，我们也无法使用一连串的加减乘除来求解。所以，我们需要学习更高级的代数。

代数

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代数是较为基础的数学分支。这个较可以理解为较「算术」而言的。代数可以简单理解为：将多项式带入到之前我们所学习的算术中。它其实是更高层次的算术抽象。

其代表概念是：多项式。

大家可以看到，花活越来越多了。

整式

代数式、单项式与多项式

1、代数式

用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子成为代数式。在程序开发领域，我们称之为：表达式。单独的数或者字母也是代数式。例如：a + b、a + 1、1、1 + 1

等。都是代数式。我们之前没有给 1 + 1 下一个定义，现在大家就知道，我们称 “ 1 + 1”为代数式。

2、单项式

由数与字母的乘积所组成的代数式称为单项式，如：3x^2。单独一个数字或字母也是单项式。从定义上来看，单项式要比代数式定义更严格一些，因为它指的是：数与字母的乘积组成的代数式。它是一种特殊的代数式。

系数：单项式中的数字因数。

次数：所有字母的指数之和。

ax^nymz^p是一个单项式，该单项式的系数为a，次数为 n + m + p。

单项式中只能包含乘法以及以数字为除数的除法运算，不能包含加减运算，更不能含有以字母为除数的除法运算。

3、多项式

若干个单项式的和称为多项式。多项式中可以包含加减运算，也可以包含有乘方和乘除运算，但不能含有以字母为除数的除法运算。

项：多项式中每个单项式。

常数项：不含字母的项。

次数：多项式中次数最高单项式的次数。

4、多项式的排列

升幂排列：将一个多项式按照某一个字母的指数从小到大顺序排列。

降幂排列：将一个多项式按照某一个字母的指数从大到小顺序排列。

整式、整除或带余除法

1、整式

单项式与多项式统称为整式。

2、整除

f(x)和g(x)是任意两个多项式，若存在多项式h(x)，使得：f(x) = h(x)g(x)，则称g(x)整除f(x)。记为：g(x) | f(x)。

因式：g(x)是f(x)的因式。

倍式：f(x)称为g(x)的倍式。

3、带余除法

对任意两个实系数多项式f(x)，g(x)，一定存在多项式q(x)，r(x)，使得：f(x) = q(x)g(x) + r(x)成立。且r(x)为零多项式，或者r(x)的次数小于g(x)的次数，q(x)和r(x)都是唯一的。

商式：q(x)称为g(x)除f(x)所得的商式。

余式：r(x)称为g(x)除f(x)所得的余式。

我们看到，对于多项式也有整除、带余除法！

余式定理

1、余式定理

多项式f(x)除以 ax - b 的余式为f(b/a)。尤其多项式f(x)除以 x - a 的余式为f(a)。

2、因式定理

多项式f(x)含有ax - b 因式 <=> f(x)能被 ax - b 整除 <=> f(b/a) = 0；尤其，f(x)含有 x - a 因式 <=> f(x)能被 x - a 整除 <=> f(a) = 0

可以看出来，因式定理其实就是余式定理推出来的。

因式分解

1、基本概念

把一个多项式化为若干个整式的积的形式，称为因式分解。多项式中每一项含有的因式称为这个多项式的公因式。

• 因式分解，其实是一种恒等变形，是一种化和为积的变形。
• 因式分解与整式乘法是互逆的。
• 在因式分解的结果中，每个因式都必须是整式。
• 因式分解要分解到不能再分解为止。

2、因式分解常用的基本方法

• 提取公因式
• 十字相乘法：

• 分组分解法

3、常用公式