树状数组中的数学

一、树状数组的定义

引理1 下列函数lowbit

int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}

能够返回数x的二进制最低位1对应的值。（例如，lowbit(10011010000)=10000。）

证明：设x的最低位的1在第k位（x=...1000...000）。则-x=~x+1=（...0111...111+1）=...1000...000。也就是说，~x在+1时，前(k-1)位一直进位，直到第k位时，由于~1=0，进位结束，且第k位仍为1。由于进位结束，则k位以上变为原来的反码。因此，x与-x仅有第k位一位相同。证毕。

定义1 树状数组第i个元素c[i]定义为，其中为从往下枚举到最后一个连续满足lowbit(j)<=lowbit(i)的j。

例如当i=6，lowbit(6)<=lowbit(6)， lowbit(5)<=lowbit(6)，而lowbit(4)>=lowbit(6)，故k=5。尽管lowbit(1)<=lowbit(6)，但不满足“连续”，故k≠1。

线段树示意图

二、树状数组的求和操作

定理1 。

证明：根据树状数组的定义，c[k]为从k开始向下连续满足lowbit(i)<=lowbit(k)的a[i]的和。只需证对于c[k]，这些元素的个数（设为p）为lowbit(k)。

① 先证lowbit(k-lowbit(k))>lowbit(k)。如果这个结论成立，那么p<=k-lowbit(k)。根据lowbit函数的定义，设k的二进制的最低位1在第u位，则k的第1~(u-1)位为0。那么，k-lowbit(k)的第u位为0。故k-lowbit(k)的第1~u位为0，lowbit(k-lowbit(k))>lowbit(k)。

② 再证，，。仍设k的二进制的最低位1在第u位，设i=k-w，则当0<=w

定理1证毕。

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由此我们可以写出如下的求和代码：

int getsum(int x) // sum[1, 2, ..., x]
{
    int ans = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i))
    {
        ans += c[i];
    }
    return ans;
}

三、树状数组的单点更新操作

定理2 若给a[x]加一个数v，则下列函数update能够将c数组更新至正确的值。

void update(int x, int v)
{
    for(int k = x; k <= n; k += lowbit(k))
    {
        c[k] += v;
    }
}

证明：只需更新满足k-lowbit(k)

① 先证对于所有update函数中更新的c[k]，都有k-lowbit(k)=r-lowbit(r)。设i的二进制的最低位1在第u位，则i+lowbit(i)的二进制的最低位1所在的位一定大于u（因为1+1=10）。将原式变形，得到lowbit(r)-lowbit(i)>=r-i，即lowbit(r)>=2*lowbit(i)。根据lowbit函数的定义以及r的最低位1所在的位数比i的最低位1所在的位数高，可以知道这个式子成立。

② 下面证update函数没有遗漏任何一个满足k-lowbit(k)=x。其次，要满足k-lowbit(k)=lowbit(x)。理由如下：设x的二进制的最低位1所在的位为u，并设，其中为k的低(u-1)位，是k的第u及以上的位，|为按位或运算。又设，其中是x的第u及以上的位，。那么根据k>=x，必然有。倘若lowbit(k)，那么k-lowbit(k)>=x，与要求矛盾。由以上讨论可知，update函数的任务是求出所有满足k>=x且lowbit(k)>=lowbit(x)，k-lowbit(k)=x。我们知道k-lowbit(k)知b的后(u-1)位一定非全0。这样，，可知，当时k-b继续应用该结论即可。这样就证明了所有的b不满足条件。

定理2证毕。