张益唐研究的是什么？

一、 大器晚成的张益唐

  张益唐1955年出生于上海，父母在北京工作，13岁前与外婆在上海生活。从小就是一个学习优异的别人家孩子。1978年，张益唐考入北大数学系，本科四年接受系统严格的数学训练，1982年本科毕业后师从著名数论专家潘承彪教授攻读硕士学位，进一步打下了非常扎实的数论基础。
  1985年，在北大丁石孙校长推荐下，张益唐作为公派自费生来美留学，在普渡大学深造读博。1991年，张益唐虽然拿到博士学位，但是，几年的博士研究乏善可陈，张益唐并未发表论文。而且，由于读博期间与导师意见分歧，毕业时对方拒绝为他写推荐信。也因此张益唐毕业后甚至无缘申请到一份博士后的工作，毕业后即告失业。
  此后，张益唐一面自己坚持数学研究，一面努力维持生计。毕业后的六七年间忍痛暂别学术圈，历经坎坷。他做过很多零工杂活，包括餐馆帮手、临时会计、送外卖……很难想象一代名校数学才子、数学博士为生活所迫流落市井，数年间沦落到在餐饮店打杂，甚至在车里过夜的窘境。以张益唐顶尖的数学背景和资历，如果愿意放弃数学，改行换高薪的职位对他应该并非难事，但是他宁愿落魄不改对数学的追求，不放弃数学人生。为了潜心研究数学，他几乎多年与世人隔绝。好在他对生活的要求没有那么多欲望，也就少了许多烦恼，也没有觉得职业给人的阶层压力。一直没有放弃喜欢的数论研究。心无旁骛地进行数学思考。
  功夫不负有心人，2013年4月17日，张益唐完成“孪生素数猜想”数论论文寄给《数学年刊》，论文主审稿人伊万尼茨是当今顶级的解析数论专家。这份只有几位顶级学家可能看懂的论文，在短短三周时间里就被确认通过审稿，创下了《数学年刊》130年来审核通过接受论文的最快纪录。《数学年刊》主审稿人伊万尼茨评注：“作者成功地证明了素数分布领域一个具有里程碑意义的定理。我们详尽仔细地研究了该论文，没有找到瑕疵”。 一个被认为多年隐没在数学界之外的人，博观约取，厚积薄发，至此，张益唐一“战”成名。
  论文首次证明存在无穷多对素数对（p, q），其中每一对素数之差，不超过7000万，突破了孪生素数猜想这一数论难题。仅半年后，26岁的年轻数学家James Maynard提出另一个完全独立的解决方法，把7000万这一数字缩小到600。张益唐提及此事并表示“ 孪生素数猜想被人赶超后，不服气，一定要再做出新成就! ”不服输的人生注定要开挂。
  在1900年的国际数学家大会上，数学家希尔伯特发表著名演讲，提出了23个有待解决的重要数学难题和猜想，其中最古老的“孪生素数猜想”是第8个问题中的一个小问题（另外两个是黎曼猜想和哥德巴赫猜想），被认为是数论史上的经典难题，也是本世纪的四大著名数学猜想之一。
  近年来，张益唐把战场转向了“朗道-西格尔零点猜想”。针对有人认为它是通往解决黎曼猜想的重要一步，张益唐解释，和黎曼猜想没有直接关系。这是黎曼猜想的一个重要推论，也和素数分布等间接相关。因此，为了系统理解Landau-Siegel猜想，先从素数出发，再介绍大名鼎鼎的黎曼猜想，最后引出朗道-西格尔零点猜想。

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图 1 张益唐夫妇。纽约《侨报》

二、 素数及规律

(一) 素数

  自然数用于计量事物的件数或表示事物次序，用数码0，1，2，3，4，……表示。可以分为偶数和奇数，也可以分为合数和素数等。按因数个数分，自然数可分为素数（也叫质数）、合数、1和0。素数，指大于1的自然数中，只能被1和自身整除的数，如7，13等。自然数是可以按照大小排序的（有序性），2000多年前，欧几里得通过反证法优雅地证明了素数有无数个（无限性）。

(二) 算数基本定理

  任何一个大于1的 自然数 N,如果N不为素数 ，那么N可以唯一分解成有限个素数的乘积

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这里 均为素数 ，其中指数 是正整数。 这样的分解称为 N 的标准分解式 。如
  也就是说，自然数里面合数都由素数构成，且可被因数唯一分解为一些素数的乘积。所以素数称为自然数的骨架，从古至今都引起人们的痴迷。素数有什么用处吗？著名的哥德尔定律中，形式系统中用于证明命题的合式公式中涉及的变元、量词、关系以及结束的对象一一对应到 0，1，…，9 过程(所谓哥德尔编码），其中常用编码规则也是使用的素数特性。现代社会中，我们平时使用的密码系统，在加密和解密过程中，都使用到了大素数分解。所以，理论上和实际应用中素数都有很重要的研究价值。

(三) 寻找素数分布规律

  2、3、5、7、11、13、……，素数的分布在自然数中表现为越来越稀疏，好像也没有什么规律，但事实上当数字很大的时候，素数的出现趋于稳定！因此，寻找素数分布规律成为了一个重要事情。而这个重要工作和黎曼猜想紧密相关。

三、 黎曼猜想

(一) 猜想界的皇冠

  前面已经说了，黎曼猜想属于1900年希尔伯特演讲中23待解决的重要数学难题中的一个小问题，100年后的又一个千禧年之际，美国克雷研究所提出了在数学界有著名七大千年难题（ NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨·米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想）。并慷慨地为每个问题设置了100万美元的奖金。其中一个著名的“庞加莱猜想”已由俄罗斯的 佩雷尔曼 破译了。有“猜想界皇冠”之称的黎曼猜想位列其中。从对数学发展指明道路，以及开启数学研究新的方法和方向来说。许多人都把黎曼认为是数学史上排名第一的人。

(二) 大神们的接力赛

  为了寻找素数分布的秘密，数学界天花板般存在的大神们开始了接力赛。瑞士天才数学家欧拉(Euler)于1737年发表了欧拉乘积公式。在这个公式中向人们展示出了素数规矩的一面。沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯(Gauss)和另一位数学大师勒让德(Legendre)深入研究了素数的分布规律，终于各自独立提出了深刻的素数定理。素数在自然数中的大致分布概率得以展现，且和实际计算符合度很高。要想得到确定的概率分布，这时黎曼横空出世了。先看看什么是黎曼猜想。

(三) 黎曼猜想的冒险之旅

  准备好了吗？我们一起来开启黎曼猜想的冒险之旅。先从黎曼泽塔函数（ζ(s)）开始，然后 ζ(s) = 0 时，函数的根有什么特点，这些根在这里叫零点。其中一种非平凡零点有什么特点（猜想），非平凡零点和素数分布有什么关系？

1. 黎曼zeta（ζ）函数

  从1开始，所有自然数平方的倒数和是多少？这就是历史上著名的巴塞尔问题。这个级数，欧拉通过自变量减去根形成的因式的连乘得到的多项式和级数中相同幂变量的等价性，逆向应用sinx 的泰勒展开式，最后得到：

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黎曼参照上式左边无穷级数构造一个函数，

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  函数ζ(s)将巴塞尔问题中的平方推广到了复数，也就是说 s = σ + it.其中σ,t都是实数， i= ，为虚数单位。符号Σ西格玛我们在财务报表中经常看到，表示合计，在数学公式中也表示求和，就是对Σ后面公式，分别把n=1,2,…代入公式中获得1,2,…的带入相应数字的一串结果，将这些结果求和。现在给黎曼泽塔函数一个定义：设一复数 { s : Re(s) > 1 }, Re(s)表示复数s的实部，①式就是原始的黎曼泽塔函数。但是①式中，这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 ( 否则级数不收敛)。函数的定义域在σ < 1时，函数ζ(s)是发散的（值为无穷大），没有定义。这就是黎曼泽塔函数的原始定义。事实上，ζ(s)取不同的值可以是我们已经熟悉的某些级数。巴塞尔问题就是求ζ(2)的值，而ζ(1)则表示的是我们熟悉的调和级数。

  为了拓展复平面上的定义域，黎曼对①式进行解析延拓，解析延拓是将解析函数（在某点及其邻域内处处可导的复函数）从较小定义域拓展到更大定义域的方法。透过此方法，一些原先发散的级数在新的定义域可具有迥异而有限的值。例如从实轴拓展到复平面，是复分析中的一种非常重要方法，只管听这个新名词就OK了。拓展后的黎曼ζ函数在Re(s)>1时，其结果与原始ζ函数的值一样，但是Re(s)<1时有了定义，函数收敛了，这种解析延拓具有唯一性。经过黎曼的一阵骚操作后，定义域终于拓展到了除s = 1 外的整个复平面。得到了②式。

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  这就是新的黎曼泽塔函数。②中的 Γ（伽马）函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广，对于正整数 s>1 ：Γ(s)=(s-1)!。可以证明，这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外，在整个复平面解析。这就是黎曼 ζ 函数的完整定义！

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图 2 黎曼 ζ 函数图示

2. 黎曼 ζ 函数的根与黎曼猜想

  回想一下，初中我们经常求方程的根（还记得一元二次方程的求根公式吗？哈哈），为什么要花大力气求根？因为掌握方程的根就掌握了方程的大部分性质！因此，也需要对黎曼泽塔函数求根。
令 ζ(s) = 0 ，求满足该式的复数 s 。
  运用②的积分表达式可以证明，黎曼 ζ 函数满足以下代数关系式

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  从③式中可以知道，黎曼 ζ 函数在 s= -2n (n 为正整数 ) 取值为零——因为 sin(πs/2) = -sin(nπ) 为零。复平面上的这种使ζ(s) = 0的点（函数的根）被称为黎曼 ζ 函数的零点。因此 s= -2n (n 为正整数 ) 是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、性质简单，被称为黎曼 ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。黎曼 ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点复杂，被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。对黎曼 ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。 到了这里，黎曼猜想终于要露出庐山真面目了。我们也能猜到，猜想是关于这些非平凡零点性质的。看吧，求函数的非平凡根多么重要。
  黎曼猜想 ：黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。
  黎曼猜想断言，黎曼 ζ 函数所有有意义的根/解（非平凡零点）都在一条直线上。证明它对于每一个有意义的解都成立，将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。都在图 3 复平面上ζ 函数的临界线与临界带 中复平面内的绿色竖线上。黎曼已经证明，所有的非平凡零点都在临界带内。

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图 3 复平面上ζ 函数的临界线与临界带

1. 实际接触一些非平凡零点（非平凡根/解）

  这些非平凡零点到底如何？需要有一个直观的了解。历史上，丹麦数学家格拉姆 (Jørgen Gram，1850-1916) 首次公布了对黎曼 ζ 函数前 15 个零点的计算结果。由于黎曼 ζ 函数在上半复平面与下半复平面的非平凡零点一一对应的，因此在讨论时只考虑虚部大于零的零点。我们把这些零点以虚部大小为序排列，所谓“前 15 个零点”指的是虚部最小的 15 个零点。在这 15 个零点中，当时只能手算的格拉姆对前 10 个零点计算到了小数点后第六位，而后 5 个零点只计算到了小数点后第一位。幸好这个运算量巨大的工作现在可以委托给计算机了，还是看看了不起的格拉姆的成绩吧。

表 1 黎曼zeta函数前15个非平凡零点（根）

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  格拉姆在求非平凡零点时，使用的是欧拉 - 麦克劳林公式，但是后来发现黎曼早就提供了另外一种算法，并进行了计算，只是没有发表并且当时手算精度比较低，后来经西格尔整理黎曼的笔记并发掘出，形成黎曼 - 西格尔公式，这个公式用来求ζ 函数的根是一个方便得多的好方法。
  到了 1925 年，人们已经知道了前 138 个零点的位置，它们都位于黎曼猜想所预言的临界线critical line上。计算机也被用于尝试证明/证伪黎曼猜想，一些试验已经搜寻了黎曼猜想的前 个非平凡零点，它们的实部都是 1/2，但这并不能证明定理正确，非平凡零点有无数个，如果有一个不在 critical line上，那么黎曼猜想就可以被证伪。不过找到更多的非平凡零点其实部都是 1/2，可以给人们信念上的支持。

4. ζ 的非平凡零点与素数计数有关

  黎曼猜想目的是了解素数的分布规律，具体说是要得到素数计数函数。有一个极为重要的欧拉乘积公式（怎么到处都有欧拉名字）：

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  乘积是对所有素数进行的。式中，Π表示其后面跟的内容进行连乘。可以证明，这个公式对 所有 Re(s)>1 的复数 s 都成立。比较④式的左边和①式的右边，发现二者是相同的，也就是黎曼 ζ 函数。终于，在黎曼 ζ 函数与素数分布之间建立起了二者存在关联的好兆头。
  那么这个公式究竟蕴涵着有关素数分布的什么样的信息呢？黎曼 ζ 函数的零点又是如何出现在这种关联之中的呢？在素数分布中有一个著名的素数定理：

  其中，，为对数积分。符号～表示渐进。在 Re(s) = 1,也就是复数 z的实部等于1时，zeta函数ζ(s)≠0，也就是其上没有零点（根），形式化表达为： Re(s) =1 ⟹ ζ(s)≠0, 从而可以证明⑤式成立。黎曼ζ 函数的非平凡零点（根）蕴藏了相当多的秘密。

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图 4 素数分布与素数定理

  素数定理描述素数在自然数中分布的渐进情况，给出随著数字的增大，素数的密度逐渐降低的直觉的形式化描述。对⑤式做一个解释，对正实数x，定义π(x)为素数计数函数，亦即不大于x的素数个数。例如 π(10)=4，因为共有 4 个质数小于等于 10，分别是 2、3、5、7。随著 x 趋近无限，π(x) 与 或Li(x)的相对误差（Li(x)- π(x)是在正负间震动无穷次的函数）趋近于 0。素数定理也可以被想像成描述从正整数中抽到素数的概率：从不大于 n 的正整数中随机选出一个数，它是素数的概率大约是 。

  黎曼ζ函数与素数有直接联系，当实部大于1时，它是一系列自然数的和，同时又是素数的乘积，这里这个P实际包括了所有的素数，这样通过对黎曼ζ函数的研究就会得到很多素数方面的信息。这里有一个基本的例子，即所谓的素数定理，那是在1986年第一次被证明的，就是通过对黎曼ζ函数的研究而得到的。关于素数更精确的信息在于进一步对黎曼ζ函数零点的研究。

  黎曼 ζ 函数的非平凡零点，直接决定了素数的分布规律。如果可以知道ζ 函数的所有非平凡零点，就可以得到精确的 π(x) 。

四、 朗道-西格尔零点猜想

(一) 由朴素到广义黎曼猜想

  黎曼猜想是通过黎曼ζ(s)函数来研究的，目前学界新的思路是应该构建一个新的函数来研究黎曼猜想。这个函数有多种，其中，狄利克雷-L函数是一个重要的函数。现在，前者称为朴素黎曼猜想，后者称为广义黎曼猜想。二者的区别与联系见下图。

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图 5 朴素与广义黎曼猜想联系与区别

(二) 狄利克雷-L函数
  先从wiki上直接搬过来其定义，再做一定的解释。
  在数学中，狄利克雷-L函数是狄利克雷级数的特例，它是形如下式的复变数函数。
在此χ是一个狄利克雷特征，s∈ℂ 的实部大于1。此函数可解析延拓为整个复平面上的亚纯函数。

  式⑥和式①在形式上比较像吧，的确，只是右边分子不一样，事实上χ(1) = 1, 当n取1时，此时，L函数就是ζ函数。广义黎曼猜想退化为朴素黎曼猜想。

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图 6 狄利克雷L函数

  为了理解狄利克雷L函数，必须对其中涉及的狄利克雷特征χ(n)进行一个介绍。狄利克雷特征指有下面性质、由 整数→复数 的函数：
1）存在正整数k使得对于任意n都有χ(n) = χ(n+k)
2）对于任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n)
3）χ(1)=1
  其中，χ表示某个抽象的函数/映射/对应法则/变幻，将整数映射到复数中。
  首个条件说明特征是一个以k为周期的函数，其余两个条件说明它是完全积性函数。在数论中，积性函数是指一个定义域为正整数n 的算术函数f(n)，有如下性质：f(1) = 1，且当a 和b 互素时，f(ab) = f(a) f(b)。
  若果特征的周期不是1，由周期性和完全积性可知，特征的值若非单位根便是0。当且仅当gcd(n,k)>1，χ(n)=0。其中，gcd(n,k) 表示n和k的最大公约数。

(三) 广义黎曼猜想

  和黎曼ζ函数求解一样，我们也对狄利克雷L函数求根。
  令，L(χ,s) = 0 ，黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上，这就是广义黎曼猜想，该猜想对研究素数分布十分重要。

(四) Landau-Siegel猜想

1. 简化问题

  对一个数学命题，证明方法有两种类型。一种是构造性证明，通过直接或间接构造出具有命题所要求的性质的实例来完成证明。要眼见为实。如直接求出一个一元二次方程的根。另外一种是存在性证明。只证明满足命题要求的对象存在，而不提供具体的实例或构造这样的实例的方法。如断言某一个一元二次方程有两个相等的实根，但具体是多少没有说明。显然，前者比后者要困难得多。
  要证明广义黎曼猜想，也是一个构造性证明，毕竟要证明狄利克雷L函数所有的非平凡零点（非平凡根）的实部都为 1/2. 那能否对这个过于强的限制条件弱化一些，只说有没有。
  复杂问题分而治之。把问题分成几个部分，一个一个部分进行证明。 这是极其重要又普适的一个技巧。先找出相对简单的一个部分，进行证明，如果能证实，增加对原始问题的信心，如果证伪了，原始问题也被推翻了。

2. 构造广义黎曼猜想的某种弱形式

  根据以上简化问题方法，我们可以考虑对广义黎曼猜想的结论进行分类，找一个相对简单的类别，然后只是进行存在性证明。
  在⑥，狄利克雷-L函数中，χ(n)是一个所谓的狄利克雷特征，是一种算数函数，输入的n是整数，但是输出的χ(n)是复数。我们把输出结果的值域进行分类，分别是实数和含有虚数的复数。值域为实数的特征叫实特征，它的值只限于{-1,0,1}。这个看起来比较简单，再对这种情况下狄利克雷L函数是否有异常零点存在进行存在性证明。通过证明部分问题和存在性证明，让问题成为了黎曼猜想的某种弱形式。这也就是朗道-西格尔零点猜想的一个不严格的说明。

3. Landau-Siegel零点猜想

  广义黎曼猜想是指所有的非平凡零点都位于实部 Re(s) = 1/2 的临界线上，如果不能直接证明非平凡零点都不在复平面上平行于虚轴的直线上，另外一种方法就是限定零点在复平面上的区域，当然，这个区域肯定要包含临界线。事实上，黎曼已经证明了在 0   数学家通过不断努力，不断缩减L函数的非平凡零点的存在区域。χ(n)是一个所谓的狄利克雷特征（算数函数），满足值域为实数的特征叫实特征，它的值只限于{-1,0,1}。在这种情况下对应的狄利克雷-L函数，数学家Edmund Landau发现，零点可能会落在已经证明了的非平凡零点的存在区域之外，这就是异常零点（exceptional zero）。

(五) 思路整理

  现在，我们对前面的分析做一个归纳整理，这样，让人有一个清晰的认知。图 7 从黎曼猜想到朗道-西格尔零点猜想

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五、 黎曼猜想及朗道-西格尔猜想作用

  黎曼猜想被称为最重要的数学猜想， 究竟是什么原因呢？ 首要的原因是它跟其它数学命题之间有着千丝万缕的联系。在今天的数学文献中已经有一千条以上的数学命题是以黎曼猜想 (或其推广形式) 成立为前提的。黎曼猜想及其推广形式一旦被证明，那一千多条数学命题就全都成为定理； 反之， 则那一千多条数学命题中会有一部分成为陪葬。 一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联， 这在数学中可以说是绝无仅有的。
  其次， 黎曼猜想与数论中的素数分布问题有着密切关系。 而数论被德国数学家高斯称为是 “数学的皇后”。 素数分布问题则又是数论中极重要的传统课题， 一向吸引着众多数学家的兴趣。 这种深植于传统的 “高贵血统” 也在一定程度上增加了黎曼猜想在数学家们心中的地位和重要性。
  再者， 一个数学猜想的重要性还有一个衡量标准， 那就是在研究该猜想的过程中能否产生出一些对数学的其它方面有贡献的结果。 用这个标准来衡量， 黎曼猜想也是极其重要的。 事实上， 数学家们在研究黎曼猜想的过程中所取得的早期成果之一， 就直接导致了有关素数分布的一个重要命题——素数定理——的证明。 而素数定理在被证明之前， 本身也是一个有着一百多年历史的重要猜想。
  最后， 并且最出人意料的， 是黎曼猜想的重要性甚至越出了纯数学的范围， 而 “侵入” 到了物理学的领地上。 20 世纪 70 年代初， 人们发现与黎曼猜想有关的某些研究， 居然跟某些非常复杂的物理现象有着显著关联。 这种关联的原因直到今天也还是一个谜。 但它的存在本身， 无疑就进一步增加了黎曼猜想的重要性。非平凡零点分布关联的密度函数与物理山的随机厄密矩阵有着直接联系。
以上这些原因， 黎曼猜想被称为最重要的数学猜想是当之无愧的。
  本文还说了黎曼猜想引申出的朗道-西格尔猜想，目前，关于张益唐在这方面的研究成果公开的很少。Landau-Siegel猜想可能的贡献在一下几个方面。
  如果张教授的研究证明L函数没有异常零点，虽然不能证明黎曼猜想正确，但是可以让我们在信念上更加相信黎曼猜想正确的。如果证明L函数有异常零点，那就否定了黎曼猜想。
  不知道张教授在这个过程中，是否发明了一套新的研究方法，如同伽罗瓦在证明五次及以上方程中一般没有解析解过程中，创建了了不起的群论。那就非常厉害了，这也就是一个猜想解决过程中带来的巨大收获。“下金蛋的鹅”一直是所有人期待的一个现象。

引用文献

[1]卢昌海.黎曼猜想漫谈:一场攀登数学高峰的天才盛宴[M]. 北京： 清华大学出版社， 2016.9
[2]李修贤. 黎曼猜想和素数分布[D].山东大学,2012.
[3].黎曼猜想的重要意义[J].语数外学习(高中版下旬),2017(11):60-61.