【算法】Nth Magical Number 第N个神奇数字

题目

A positive integer is magical if it is divisible by either A or B.

Return the N-th magical number. Since the answer may be very large, return it modulo 10^9 + 7.

Example 1:

Input: N = 1, A = 2, B = 3
Output: 2

Example 2:

Input: N = 4, A = 2, B = 3
Output: 6

Example 3:

Input: N = 5, A = 2, B = 4
Output: 10

Example 4:

Input: N = 3, A = 6, B = 4
Output: 8

Note:

1 <= N <= 10^9
2 <= A <= 40000
2 <= B <= 40000

给出 N A B 三个数字，求出第 N 个神奇数字，神奇数字可以被 A 或者 B 整除。

解题思路

假设神奇数字时 M，则 M 是 A 的第 M / A 个倍数，M 是 B 的第 M / B 个倍数，由于 A、B 存在最小公倍数 LCM ，所以 M 即为 A 和 B 的第 M / A + M / B + M / LCM 个神奇数字。
所以思路即为：

• 先求出最小公倍数 LCM
• 然后二分寻找第 N 个神奇数字，以 M / A + M / B + M / LCM < N 为比较条件

代码实现

Runtime: 8 ms
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// 当 N 为 1 时，返回 A B 的较小值
        if N == 1 {
            return min(A, B)
        }
        // a b tmp 用于辗转相除求最大公约数
        var a = A,b = B,tmp = 0
        while (b > 0)
        {
            tmp = a
            a = b
            b = tmp % b
        }
        // 最大公约数为 a，最小公倍数为 lcm
        let lcm = A * B / a
        // 二分搜索的左右边界
        var l = 2,r = Int(1e14)
        while (l < r)
        {
            // 中值 m
            let m = (l + r) / 2;
            // m / A + m / B - m / lcm 得出的结果为 m 是第几个神奇数字
            if m / A + m / B - m / lcm < N
            {
                l = m + 1
            }
            else
            {
                r = m
            }
        }
        return Int(l % Int(1e9 + 7))

代码地址：https://github.com/sinianshou/EGSwiftLearning