克鲁斯卡尔算法（Kruskal）详解

应用场景-公交站问题

看一个应用场景和问题：

1) 某城市新增 7 个站点 (A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通

2) 各个站点的距离用边线表示 ( 权 ) ，比如 A – B 距离 12 公里

3) 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短 ?

 

克鲁斯卡尔算法介绍

1) 克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法 。

2) 基本思想 ：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路

3) 具体做法 ：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

 

克鲁斯卡尔算法图解说明

以城市公交站问题来图解说明 克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。 

例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

 

克鲁斯卡尔算法图解

以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。

 

 

第1步：将边加入R中。 
    边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第2步：将边加入R中。 
    上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第3步：将边加入R中。 
    上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第4步：将边加入R中。 
    上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。 
第5步：将边加入R中。 
    上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第6步：将边加入R中。 
    上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： 。

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题： 
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。 
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

 

如何判断是否构成回路-举例说明(如图)

 

在将 加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

(01) C的终点是F。 
(02) D的终点是F。 
(03) E的终点是F。 
(04) F的终点是F。

 

关于终点的说明：

1. 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
2. 因此，接下来，虽然是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。【后面有代码说明】

克鲁斯卡尔算法的代码说明

package com.liu.kruskal;

import java.util.Arrays;

public class KruskalCase {
		private int edgeNum; //边的个数
		private char[] vertexs; //顶点数组
		private int[][] matrix; //邻接矩阵
		//使用 INF 表示两个顶点不能连通
		private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
		

		public static void main(String[] args) {
			char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
			//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵  
		      int matrix[][] = {
		      /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
		/*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
		/*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
		/*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
		/*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
		/*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
		/*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
		/*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}}; 
		      //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.
		      
		      //创建KruskalCase 对象实例
		      KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
		      //输出构建的
		      kruskalCase.print();
		      kruskalCase.kruskal();
	}
		public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
			// TODO Auto-generated constructor stub
			//初始化顶点数和边的个数
			int vlen = vertexs.length;
			
			//初始化顶点, 复制拷贝的方式
			this.vertexs = new char[vlen];
			for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
				this.vertexs[i] = vertexs[i];
			}
			
			//初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
			this.matrix = new int[vlen][vlen];
			for(int i = 0; i < vlen; i++) {
				for(int j= 0; j < vlen; j++) {
					this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
				}
			}
			//统计边的条数
			for(int i =0; i < vlen; i++) {
				for(int j = i+1; j < vlen; j++) {
					if(this.matrix[i][j] != INF) {
						edgeNum++;
					}
				}
			}
		}

		private void kruskal() {
			// TODO Auto-generated method stub
			int index=0;//表示最后结果数组的索引
			int ends[]=new int[edgeNum];//用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
			//创建结果数组, 保存最后的最小生成树
			Edata[] result=new Edata[edgeNum];
			
			//获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边
			Edata[] edges = getEdges();
			System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
			//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
			Arrays.sort(edges);
			
			//遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
			for(int i=0;i [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
					
					result[index++]=edges[i];//有一条边加入到rets数组
				}
			}
			//     。
			//统计并打印 "最小生成树", 输出  rets
			System.out.println("最小生成树为");
			for(int i = 0; i < index; i++) {
				System.out.println(result[i]);
			}
		}
		/**
		 * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同
		 * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成
		 * @param i : 表示传入的顶点对应的下标
		 * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解
		 */
		private int getEnd(int[] ends, int p1) {// i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
			// TODO Auto-generated method stub
			while(ends[p1]!=0) {
				p1=ends[p1];
			}
			return p1;
		}
		/**
		 * 
		 * @param ch 顶点的值，比如'A','B'
		 * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
		 */
		private int getPosition(char ch) {
			for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
				if(vertexs[i] == ch) {//找到
					return i;
				}
			}
			//找不到,返回-1
			return -1;
		}
		/**
		 * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组
		 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取
		 * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]
		 * @return
		 */
		private Edata[] getEdges() {
			// TODO Auto-generated method stub
			int index = 0;
			Edata[] edges = new Edata[edgeNum];
			for(int i=0;i{
	char start;//边的一个点
	char end;//边的另外一个点
	int weight;//边的权值
	public Edata(char start, char end, int weight) {
		super();
		this.start = start;
		this.end = end;
		this.weight = weight;
	}
	@Override
	public String toString() {
		return "Edate [start=" + start + ", end=" + end + ", weight=" + weight + "]";
	}
	@Override
	public int compareTo(Edata o) {
		// TODO Auto-generated method stub
		return this.weight-o.weight;
	}
	
}