视觉SLAM十四讲-第三讲三维刚体运动

什么是刚体运动以及三维空间中刚体运动描述方式有哪些？

两个坐标系之间的运动由一个旋转加上一个平移组成，这种运动称为刚体运动。描述三维空间中刚体运动的方式有旋转矩阵、旋转向量、欧拉角、四元数。

请描述左手坐标系和右手坐标系。

大拇指——y
食指——z
中指——x

内积和外积的公式和对应的几何意义

内积公式：

内积几何意义：
1.两个向量之间的夹角
2.b向量在a向量方向上的投影

外积公式：

外积几何意义：
1.在三维几何中，两个向量的外积结果是一个向量，该向量垂直于这两个向量构成的平面，也称法向量。
2.在二维空间中，外积在数数值上等于两个向量构成的平行四边形的面积。

定义坐标系1、坐标系2，向量a在两个坐标系下的坐标是a1，a2，用欧式变化表达两者之间的关系。

什么是齐次坐标，为什么要引入它？

齐次坐标系，就是用N+1维向量（矩阵）来表示N维向量（矩阵）。这里引入齐次坐标，是因为这样吧三维向量末尾加1，变成4维向量后，就可以把旋转和平移写在一个矩阵里，得到变换矩阵T。左上角是旋转矩阵，右上角是平移向量，左下角是0向量，右下角是1。

旋转矩阵描述刚体运动的缺点

1.旋转矩阵是3*3有9个量，而一次旋转只有3个自由度，这样的表达是冗余的。
2.旋转矩阵带有约束，必须是正交矩阵且行列式为1，这些约束会使得求解变得困难。

什么是旋转向量？

任意的旋转都可以用旋转轴和旋转角来刻画，使用一个向量，使得向量的方向与旋转轴一致，长度为旋转角。这种向量是旋转向量。

旋转矩阵和旋转向量之间的关系？

已知一个旋转矩阵R，一个旋转向量，旋转向量的单位向量为n，角度为（长度）Θ，从旋转向量之到旋转矩阵的转换过程由罗德里格斯公式表明：

用Eigen实现旋转向量和旋转矩阵之间的转换。

# 向量和旋转向量是不一样的,向量的base是Eigen::Matrix，而旋转向量是Eigen::AngleAxis
# 初始化旋转向量
Eigen::AngleAxisd rotation_vector(M_PI / 2, Eigen::Vector3d(1,2,3).normalized());
# 注意normalized()返回向量，norm返回L2范数，normalize()是归一化处理，不返回值

# 旋转向量转旋转矩阵
Eigen::Matrix3d rotation_matrix = rotation_vector.matrix();

# 旋转矩阵转旋转向量
Eigen::Vector3d rotate;
rotate.fromRotationMatrix(rotation_matrix);

什么是欧拉角，它的重大缺点?

无论是旋转矩阵还是旋转向量，虽然能描述旋转，但是对人类来说很不直观。欧拉角提供了一种非常直观的方式来描述旋转——使用3个分离的转角，把一个旋转分解成3次不同的旋转。假设一个刚体的前方为x轴，右侧为Y轴，上方为Z轴。通常使用ypr（yaw-pitch-row）旋转顺序。
yaw——绕物体的z轴旋转得到偏航角yaw；
pitch——绕旋转后的y轴旋转得到俯仰角pitch；
row——绕旋转之后的x轴旋转得到滚转角roll。

什么是万向锁？

在俯仰角为正负90度时，第一次旋转和第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度。这就是万象锁问题，也称为奇异性问题。

为什么要引入四元数，四元数是什么？

旋转矩阵表示冗余，欧拉角和旋转向量是紧凑的单具有奇异性。而四元数既是紧凑的又没有奇异性。三维旋转可以由单位四元数来描述，一个四元数拥有一个实部和三个虚部。

写出相似变换、仿射变换、射影变换的矩阵形式。