模式识别与机器学习·第二章——统计判别

统计判别的意义

模式识别的目的就是要确定某一个给定的模式样本属于哪一类。
可以通过对被识别对象的多次观察和测量，构成特征向量，并将其作为某一个判决规则的输入，按此规则来对样本进行分类。
在获取模式的观测值时，有些事物具有确定的因果关系，即在一定的条件下，它必然会发生或必然不发生。

例如：识别一块模板是不是直角三角形，只要凭“三条直线边闭合连线和一个直角”这个特征，测量它是否有三条直线边的闭合连线并有一个直角，就完全可以确定它是不是直角三角形。
这种现象是确定性的现象

但在现实世界中，由许多客观现象的发生，就每一次观察和测量来说，即使在基本条件保持不变的情况下也具有不确定性。
只有在大量重复的观察下，其结果才能呈现出某种规律性，即对它们观察到的特征具有统计特性。
特征值不再是一个确定的向量，而是一个随机向量。
此时，只能利用模式集的统计特性来分类，以使分类器发生错误的概率最小。

贝叶斯判别

两类模式集的分类
目的：要确定x是属于ω1类还是ω2类，要看x是来自于ω1类的概率大还是来自ω2类的概率大。
根据概率判别规则，有：

若P(ω1 | x) > P(ω2 | x)，则
若P(ω1 | x) < P(ω2 | x)，则
由贝叶斯定理，后验概率P(ωi | x)可由类别ωi的先验概率P(ωi)和x的条件概率密度p(x | ωi)来计算，即：
这里p(x | ωi)也称为似然函数。将该式代入上述判别式，有：
若p(x | ω1)P(ω1) > p(x | ω2)P(ω2)，则
若p(x | ω1)P(ω1) < p(x | ω2)P(ω2)，则
或

若
，则
若
，则
其中，l12称为似然比，P(ω2)/P(ω1)=θ21称为似然比的判决阈值，此判别称为贝叶斯判别。

例子（地震预测）

对某一地震高发区进行统计，地震以ω1类表示，正常以ω2类代表
统计的时间区间内， 每周发生地震的概率为20%，即P(ω1)=0.2，当然P(ω2)=1-0.2=0.8
在任意一周，要判断该地区是否会有地震发生。显然，因为P(ω2)> P(ω1)，只能说是正常的可能性大。如要进行判断，只能用其它观察现象来实现。
通常地震与生物异常反应之间有一定的联系。
若用生物是否有异常反应这一观察现象来对地震进行预测，生物是否异常这一结果以模式x代表，这里x为一维特征，且只有x=“异常”和x=“正常”两种结果。
假设根据观测记录，发现这种方法有以下统计结果：
地震前一周内出现生物异常反应的概率=0.6，即p(x=异常| ω1)=0.6
地震前一周内出现生物正常反应的概率=0.4，即p(x=正常| ω1)=0.4
一周内没有发生地震但也出现了生物异常的概率=0.1，即p(x=异常| ω2)=0.1
一周内没有发生地震时，生物正常的概率=0.9，即p(x=正常| ω2)=0.9

贝叶斯最小风险判别

当考虑到对于某一类的错误判决要比对另一类的判决更为关键时，就需要把最小错误概率的贝叶斯判别做一些修正，提出条件平均风险rj(x)。
M类分类问题的条件平均风险rj(x)
对M类问题，如果观察样本被判定属于ωj类 ，则条件平均风险为：

Lij称为将本应属于ωi类的模式判别成属于ωj类的是非代价。
意义：

• 对于自然属性是属于ωi类的模式x来说，它来自ωi类的概率应为P(ωi |x)。
• 如果分类器判别x是属于ωj类，但它实际上来自ωi类，也就是说分类器失败，这时Lij为失分，对应的条件风险为后验概率进行Lij的加权运算。
• 由于模式x的自然属性可能来自M类中的任一类，因此可将观察样本指定为ωj类的条件平均风险用rj(x)的公式运算。

Lij的取值：

• 若i=j，即判别正确，得分， Lij可以取负值或零，表示不失分。
• 若i≠j，即判别错误，失分， Lij应取正值。

最小平均条件风险分类器：

• 分类器对每一个模式x有M种可能的类别可供选择。
• 若对每一个x计算出全部类别的平均风险值r1(x), r2(x),…, rM(x)，并且将x指定为是具有最小风险值的那一类，则这种分类器称为最小平均条件风险分类器。
• 按贝叶斯公式，最小平均条件风险可写成：
  因1/p(x)为公共项，可舍去，因此可简化为：
  这也是贝叶斯分类器，只是它的判别方法不是按错误概率最小作为标准，而是按平均条件风险作为标准。

两类（M=2）情况的贝叶斯最小风险判别

选M=2，即全部的模式样本只有ω1和ω2两类，要求分类器将模式样本分到ω1和ω2两类中，则平均风险可写成：
当分类器将x判别为ω1时：

当分类器将x判别为ω2时：

若r1(x)

即

通常取Lij>Lii，有：
当时，
该式左边为似然比：
右边为阈值：
故得两类模式的贝叶斯判别条件为：
（1）若l12(x)>θ21，则
（2）若l12(x)<θ21，则
（3）若l12(x)=θ21，则可做任意判别。

两类（M=2）情况的贝叶斯最小风险判别实例

如图所示为一信号通过一受噪声干扰的信道。
信道输入信号为0或1，噪声为高斯型，其均值μ=0，方差为б2。
信道输出为x，试求最优的判别规则，以区分x是0还是1。
设送0为ω1类，送1为ω2类，从观察值x的基础上判别它是0还是1。直观上可以看出，若x<0.5应判为0，x>0.5应判为1。用贝叶斯判别条件分析：设信号送0的先验概率为P(0)，送1的先验概率为P(1)，L的取值为：
这里a1和a2分别对应于输入状态为0和1时的正确判别，L12对应于实际上是ω1类但被判成ω2类(a2)时的代价，L21对应于实际上是ω2类但被判成ω1类(a1)时的代价。正确判别时L取0。
当输入信号为0时，受噪声为正态分布N(0,б2)的干扰，其幅值大小的概率密度为：

当输入信号为1时：
则似然比为：
若
，即，则，此时信号应是0，即

若取L21=L12=1，P(1)=P(0),则x<1/2判为0。
若无噪声干扰，即б2=0，则x<1/2判为0。

多类（M类）情况的贝叶斯最小风险判别

对于M类情况，若，则。
L可如下取值（仍按判对失分为0，判错失分为1记）：

则条件平均风险可写成：

由
，有当时，，对应于判别函数为：取，则对于全部的值，若，则

正态分布模式的贝叶斯分类器

出发点：

• 当已知或者有理由设想类概率密度函数P(x|ωi )是多变量的正态分布时，上一节介绍的贝叶斯分类器可以导出一些简单的判别函数。
• 由于正态密度函数易于分析，且对许多重要的实际应用又是一种合适的模型，因此受到很大的重视。