近世代数之群
群
群的第一定义：一个不空集合G对于一个乘法的代数运算来说作为一个群，假如：
- G对于乘法来说是封闭的。
- 结合律成立：对于G的任意三个元 a , b , b a,b,b a,b,b满足 a ( b c ) = ( a b ) c a(bc)=(ab)c a(bc)=(ab)c。
- 对于G中任意两个元 a , b a,b a,b来说，方程 a x = b ax=b ax=b和 y a = b ya=b ya=b都在G中有解。
举例：G是全体整数的集合，G对于普通加法来说是一个群。
证明：
- 两个整数相加还是一个整数。
- a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a+(b+c)=(a+b)+c a+(b+c)=(a+b)+c
- a , b a,b a,b是整数的时候， a + x = b , y + a = b a+x=b,y+a=b a+x=b,y+a=b均有整数解。
举例：G是所有不等于零的整数的集合，G对于所有普通乘法来说不作为一个群。
证明：1,2均满足，不满足3，例如2x=3的解为3/2，不是整数。
群的性质：假设G是一个群，具有以下性质：
-
G中至少存在一个元e，叫做G的一个左单位元，对于G中的任意元 a a a满足 e a = a ea=a ea=a。
证明：
对于固定的元b， y b = b yb=b yb=b在G中有解。我们任意取一个解，叫做e，即 e b = b eb=b eb=b.
假设对于 b x = a bx=a bx=a有解 c c c： b c = a bc=a bc=a
则 e a = e ( b c ) = ( e b ) c = b c = a ea=e(bc)=(eb)c=bc=a ea=e(bc)=(eb)c=bc=a，因此对于任意一个元素 a ∈ G a\in G a∈G，均满足 e a = a ea=a ea=a。得证。 -
对于G中每一个元a，在G中至少存在一个元 a − 1 a^{-1} a−1叫做 a a a的一个左逆元满足 a − 1 a = e a^{-1}a=e a−1a=e成立。这里 e e e为一个固定的左单位元。
群的第二定义：一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说是一个群，假如：
- G对于乘法来说是封闭的。
- 结合律成立：对于G的任意三个元 a , b , b a,b,b a,b,b满足 a ( b c ) = ( a b ) c a(bc)=(ab)c a(bc)=(ab)c。
- G中至少存在一个左单位元e，对于G中任何元 a a a满足 e a = a ea=a ea=a。
- 对于G中每一个元 a a a，在G中至少存在一个左逆元 a − 1 a^{-1} a−1，满足 a − 1 a = e a^{-1}a=e a−1a=e。
推导：
- 一个左逆元一定也是一个右逆元：由 a − 1 a = e a^{-1}a=e a−1a=e可得 a a − 1 = e aa^{-1}=e aa−1=e
- 一个左单位元一定也是一个右单位元。由 e a = a ea=a ea=a可得 a e = a ae=a ae=a
一个群叫做有限群，假如这个群的元的个数是一个有限整数；否则这个群叫做无限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
交换群：一个群叫做交换群，假如 a b = b a ab=ba ab=ba，对于G中任何两个元 a , b a,b a,b都成立。
群的性质：单位元，逆元
- 定理1：在一个群G中存在一个并且只存在一个元 e e e，对于G中任意元 a a a，能使 e a = a e = a ea=ae=a ea=ae=a成立。
- 定理2：对于群G的每一个元 a a a来说，在G中存在一个而且只存在一个元 a − 1 a^{-1} a−1，能使 a − 1 a = a a − 1 = e a^{-1}a=aa^{-1}=e a−1a=aa−1=e。我们称 a − 1 a^{-1} a−1叫做元 a a a的逆元（简称为逆）。
阶：我们看群G的一个元 a a a，能够使 a m = e a^m=e am=e的最小的正整数 m m m叫做 a a a的阶。若是这样的一个 m m m不存在，我们说 a a a是无限阶的。
消去律： 4. 一个群的乘法适合消去律：若 a x = a x ′ ax=ax' ax=ax′，那么 x = x ′ x=x' x=x′；若 y a = y ′ a ya=y'a ya=y′a，那么 y = y ′ y=y' y=y′。
推论：在一个群里面，方程 a x = b , y a = b ax=b,ya=b ax=b,ya=b各有一个唯一的解。
有限群另一定义：一个有乘法的有限不空集合G作为一个群，假如1,2,4能被满足。
注：关于123与124的关系问题，满足123一定满足124，满足124不一定满足123，比如对于普通乘法来说，集合G={所有不等于0的整数}满足124，但是不满足123。如果G是一个有限集合时，123与124就是等价关系了。
群的同态
定理1：假定G与 G ˉ \bar{G} Gˉ对于它们的乘法来说同态，那个 G ˉ \bar{G} Gˉ也是一个群。
定理2: 假定G与 G ˉ \bar{G} Gˉ是两个群，在G到 G ˉ \bar{G} Gˉ的一个同态满射之下，G的单位元 e e e的象是 G ˉ \bar{G} Gˉ的单位元，G的元a的逆元 a − 1 a^{-1} a−1的象是a的象的逆元。
注： e → e ˉ e\to \bar{e} e→eˉ, a − 1 → a − 1 ˉ a^{-1}\to \bar{a^{-1}} a−1→a−1ˉ
在G与 G ˉ \bar{G} Gˉ间的一个同构映射下，两个单位元相互对应，互相对应的元的逆元也互相对应。
群的同构：设G,G’是群。如果存在G到G’的双射 σ \sigma σ满足 σ ( x y ) = σ ( x ) σ ( y ) , ∀ x y ∈ G \sigma(xy)=\sigma (x)\sigma (y),\forall xy \in G σ(xy)=σ(x)σ(y),∀xy∈G，则称 σ \sigma σ是同态映射，记为 G ≅ G ′ G\cong G' G≅G′。
注：同构值得是有相同的结构。同构关系是等价关系，记满足：自反性、对称性、传递性。
凯莱定理：任意群都同构于一个变换群。
变换群
A的一个变换，就是一个A到A自己的映射，变换 τ \tau τ: a → a ′ = τ ( a ) a \to a'=\tau(a) a→a′=τ(a)。为了方便起见，对于变换这一特殊的映射，用了一种特殊的符号来说明： τ \tau τ: a → a ′ = a τ a \to a'=a^{\tau} a→a′=aτ.
全变换群：集合M到自身的所有双射全体，对于映射的复合构成群，称为M的全变换群，记为 S M S_M SM.
特例：若M为n元集合，M的双射称为n元置换。 S M S_M SM称为n元对称群，简记为 S n S_n Sn。
对于一个乘法来说, S S S有一个单位元，就是A的恒等变换 ε \varepsilon ε: a → a a\to a a→a
定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换 ε \varepsilon ε。若是对于上述乘法来说G作为一个群，那我G只包含A的一一变换。
补充
半群：设 G ≠ ⊘ G\ne \oslash G=⊘, G G G上有代数运算，若运算满足结合律，即对于 ∀ a , b , c ∈ G \forall a,b,c \in G ∀a,b,c∈G满足 a ( b c ) = ( a b ) c a(bc)=(ab)c a(bc)=(ab)c，则称 ( G , ∘ ) (G,\circ ) (G,∘)或者G称为半群。
在半群的基础上，满足群中存在单位元以及逆元，则称为群。
Abel群：假设G是群，如果对于任意的 a , b ∈ G a,b\in G a,b∈G，有 a b = b a ab=ba ab=ba，则称G是可换群，或者Abel群。
群的性质：
1、方程可解性：设G是群， a , b ∈ G a,b\in G a,b∈G，则方程 a x = b ax=b ax=b, y a = b ya=b ya=b的解存在且唯一。
2、方幂运算：由于群的乘法满足结合律，可记： a n = a . . . a ⏟ a^n=\underbrace{a...a} an= a...a，则 a n ⋅ a m = a n + m a^n \cdot a^m=a^{n+m} an⋅am=an+m， ( a − 1 ) n = a − n (a^{-1})^n=a^{-n} (a−1)n=a−n。
子群：设G是群， ⊘ ≠ H ⊂ G \oslash \ne H\subset G ⊘=H⊂G。若 H H H关于 G G G的运算也构成群，则称H是G的子群，记为 H ≤ G H\le G H≤G。
注：1、子群关于群运算满足封闭性
2、子群的交集还是子群，但是子群的并集不是子群。
举例：设G是群，e是其单位元，则G，{e}为G的子群，称为平凡子群。
定理：设G是群， ⊘ ≠ H ⊂ G \oslash \ne H\subset G ⊘=H⊂G，则 H H H是子群的充分必要条件是由 a , b ∈ H a,b \in H a,b∈H，推出 a b − 1 ∈ H ab^{-1}\in H ab−1∈H。
陪集：设H是群G的子集，若 ∀ a ∈ G \forall a \in G ∀a∈G，记 a H = { a h : h ∈ G } , H a = { h a : h ∈ G } aH=\left \{ ah:h\in G \right \},Ha=\left \{ha:h\in G \right \} aH={ah:h∈G},Ha={ha:h∈G}。分别称为H在G中的左陪集与右陪集。一般的 a H ≠ H a aH \ne Ha aH=Ha
正规子群：设H是群G的子群，若 ∀ a ∈ G \forall a \in G ∀a∈G， a H = H a aH = Ha aH=Ha，则称H是G的正规子群。记作 H ⊲ G H\lhd G H⊲G。此时 G / H G/H G/H构成群，称为商群。