PageRank算法学习笔记

PageRank

该算法求得的是每个网页节点相对于全局的重要性程度。

图中的节点可以视为网页，边表示跳转链接。

1.PageRank两阶段：

1. 数量假设。当一个节点被指向的越多，则越重要。

2. 质量假设。质量高的页面通过链接向其他页面传递更高的权重。

2.计算过程

1. 将有向图转换为邻接矩阵。每一行为出链
   $$M=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right]$$

2. 计算概率矩阵，即归一化

$$M^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}0& 1/3& 1/3& 1/3\\ 1/2& 0& 0& 1/2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1/2& 1/2& 0\end{array}\right]$$

表示有多少概率链接到其他节点，如，节点1分别有1/3的概率跳转到2，3，4。求转置即可得到概率转移矩阵。

$$P=\left[\begin{array}{cccc}0& 1/2& 0& 0\\ 1/3& 0& 0& 1/2\\ 1/3& 0& 0& 1/2\\ 1/3& 1/2& 0& 0\end{array}\right]$$

概率转移矩阵即可描述一个用户在网上的下一步访问行为。假设初始化用户对每一个网页节点访问的概率相同。即：

$$\nu =\left[\begin{array}{c}1/4\\ 1/4\\ 1/4\\ 1/4\end{array}\right]$$

下一次访问各节点的概率为：

$${\nu }^{\prime }=P\nu$$

3,当用户操作时，不一定按照链接顺序来转移，可能会随机打开这4个网站中的任何一个，此时转移矩阵的概率每个节点都是一样的为1/4。那么再引入一个参数α，来表示按照当前转移矩阵跳的概率。此时转移矩阵为：
$$A=\alpha \times \left[\begin{array}{cccc}0& 1/2& 0& 0\\ 1/3& 0& 0& 1/2\\ 1/3& 0& 0& 1/2\\ 1/3& 1/2& 0& 0\end{array}\right]+(1-\alpha )\times \left[\begin{array}{cccc}1/4& 1/4& 1/4& 1/4\\ 1/4& 1/4& 1/4& 1/4\\ 1/4& 1/4& 1/4& 1/4\\ 1/4& 1/4& 1/4& 1/4\end{array}\right]$$

通常情况下，α=0.85

4，最终计算迭代公式
$${\nu }^{\prime }=P\nu$$
当ν和v’误差在一定范围内，即为最终的PageRank值。通过计算，PageRank的值为，
$$\nu =\left[\begin{array}{c}0.3245\\ 0.2251\\ 0.2251\\ 0.2251\end{array}\right]$$
5，总结

上述公式可以总结为：
$$PR(i)=\alpha \sum _{j\in in(i)}\frac{PR(j)}{|out(j)|}+\frac{1-\alpha }{N}$$

α：转移概率

N：节点总数

in(i)：指向节点i的网页集合

out(j)：节点j指向的网页集合。