【数据结构】二叉树

⭐ 作者：小胡_不糊涂
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1. 树形结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 树是递归定义的

数据结构中的树与生活中的树是很相似的：

当然，在这个树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

比如下面的三个图就不是树：

1.1 基础概念

结点的度： 一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
树的度： 一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点： 度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点： 若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点： 一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点： 一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度： 树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
森林： 由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.2 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node{
	int value;//树中存储的数据
	Node firstChild;//第一个孩子引用
	Node nextBrother;//下一个孩子引用
}

树的各结点的关系：

1.3 树的应用

文件系统管理（目录和文件）：一个文件夹下的子目录，子目录下的目录…这种关系就可以用一棵树来表示。

2. 二叉树

2.1 什么是二叉树

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
   
   从上图可以看出：
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
   注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
   

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树： 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
2. 全二叉树： 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。

满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
• 若2i+1
• 若2i+2

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
	int val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
	int val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
	Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.5 二叉树的遍历

**遍历(Traversal)**是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。

我们以N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

2.5.1 前序遍历

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。

public static class TreeNode{
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    int val;
    TreeNode(int val){
        this.val = val;
    }
}
private TreeNode root;

//前序遍历
void preOrder(TreeNode root){
    if(root == null) {
        return;
    }
    System.out.print(root.val+" ");
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
 }

前序递归图解：

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1

2.5.2 中序遍历

LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。

// 中序遍历  -》 左根右
void inOrder(TreeNode root){
    if(root == null) {
        return;
    }
    inOrder(root.left);
    System.out.print(root.val+" ");
    inOrder(root.right);
}

2.5.3 后序遍历

LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点

// 后序遍历  -》 左右根
void postOrder(TreeNode root){
    if(root == null) {
       return;
    }
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    System.out.print(root.val+" ");
}

2.5.4 层序遍历

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。