LeetCode 155. 掷骰子等于目标和的方法数：动态规划

【LetMeFly】1155.掷骰子等于目标和的方法数：动态规划

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/number-of-dice-rolls-with-target-sum/

这里有 n 个一样的骰子，每个骰子上都有 k 个面，分别标号为 1 到 k 。

给定三个整数 n ,  k 和 target ，返回可能的方式(从总共 kn 种方式中)滚动骰子的数量，使正面朝上的数字之和等于 target 。

答案可能很大，你需要对 109 + 7 取模 。

 

示例 1：

输入：n = 1, k = 6, target = 3
输出：1
解释：你扔一个有 6 个面的骰子。
得到 3 的和只有一种方法。

示例 2：

输入：n = 2, k = 6, target = 7
输出：6
解释：你扔两个骰子，每个骰子有 6 个面。
得到 7 的和有 6 种方法：1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1。

示例 3：

输入：n = 30, k = 30, target = 500
输出：222616187
解释：返回的结果必须是对 109 + 7 取模。

 

提示：

• 1 <= n, k <= 30
• 1 <= target <= 1000

方法一：动态规划(DP)

开辟一个动态规划数组$dp$，其中$dp[i][j]$代表$i$个骰子的和为$j$的方案数。

初始值$dp[i][j]=0$，而$dp[1][1-k]=1$。

这样，我们就可以从第二天开始枚举：

for i from 2 to n:  # i个骰子
   for j from 1 to target:  # 和为j
       for _k from 1 to min(k, target):  # i个骰子和为j，可以由 i-1个骰子和为j-_k 加上 一个值为_k的骰子 得到
	       dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - _k]) % MOD

优化：

1. 不难发现$i$个骰子的状态只和$i-1$个骰子的状态有关，因此可以将二维数组压缩为一维。
2. 我们初始化了1个骰子从1到k的方案数为1，其实我们也可以只领$dp[0][0]=1$（0个骰子和为0的方案数为1）

复杂的分析

• 时间复杂度$O(n\times k\times target)$
• 空间复杂度$O(n\times target)$或$O(target)$

AC代码

C++

没有进行空间优化：

typedef long long ll;
const ll MOD = 1e9 + 7;
class Solution {
public:
    int numRollsToTarget(int n, int k, int target) {
        vector<vector<ll>> dp(n + 1, vector<ll>(target + 1, 0));
        for (int j = 1; j <= min(k, target); j++) {
            dp[1][j] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= target; j++) {
                for (int _k = 1; _k <= min(k, j); _k++) {
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - _k]) % MOD;
                }
            }
        }
        return dp[n][target];
    }
};

Python

进行了空间优化：

MOD = int(1e9 + 7)
class Solution:
    def numRollsToTarget(self, n: int, k: int, target: int) -> int:
        dp = [1] + [0] * target
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(target, -1, -1):
                dp[j] = 0
                for _k in range(1, min(k + 1, j + 1)):
                    dp[j] = (dp[j] + dp[j - _k]) % MOD
        return dp[-1]

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