微分流形简介

1、欧氏空间流形

流形上每一点的邻域和欧氏空间的一个开集同胚，在此邻域可引入局部坐标系。流形可以看作一块块"欧氏空间"粘合起来。

coordinate patches

【与的一个开集同胚，则称为m维流形】

2、chart：（称为M上的d维chart）

【chart也用（U，）表示】这些chart的集合称为altas，若：

3、切空间：定义在某点上，由某点各个不同的切向量张成的空间。

x点的切向量：在流形上做一条经过x点的曲线r(t)，r可看作的映射。令x=r(0)，规定曲线上的原点。在流形上定义一个可微函数，因此在曲线上有f(r(t))，此函数在x点沿r方向的导数为.

我们看到可以做多条经过x的曲线，因此沿不同的曲线就有不同的切向量。

4、梯度：