【学习笔记】[ABC323G] Inversion of Tree

前置知识：矩阵树定理，特征多项式

省流：板子缝合题。可以复习一下线性代数的基本知识。

定义$P_u>P_v$的边价值为$x$，$P_u<P_v$的边价值为$1$，那么我们要求一个矩阵$L$的行列式中$x^i$对应的系数。

暴力做法是$O(n^4)$的。所以需要一点科技。

考虑特征多项式。对于一个$n\times n$的矩阵$A$，定义它的特征多项式为：

$$p_A(x)=\det (x{I}_n-A)$$

其中$I_n$是一个$n$阶的单位矩阵，最后的$p_A(x)$是一个$n$次多项式。

如果一个矩阵次对角线下方的位置全部都是$0$，那么把其称为上海森堡矩阵。

任意$n$级矩阵的特征多项式都能在$O(n^3)$的时间复杂度内求出，方法：

$1.1$ 利用相似矩阵特征行列式相同的性质将给定矩阵消成上海森堡矩阵

这是因为对于初等可逆矩阵$P$，有：

$$\det (x{I}_n-A)=\det (x{I}_n-PA{P}^{-1})$$

这个东西 好像见过，当时不知道有啥用。。。（其实用处还挺大的，可以加速 矩阵快速幂，但是手算的部分挺难的。。。）

考虑高斯消元的三个操作：

• 交换两行
• 将第$i$行的$k$倍加到第$j$行上
• 将第$i$行的数乘上$k$

它们都能写成一个矩阵$P$。也就是说，每次消元的过程可以看成左乘上矩阵$P$，而$P^{-1}$不难手算得到，并且右乘上$P^{-1}$等价于是对列进行操作，因此在消元的过程中，当我们对行进行操作时，要同时对列执行其共轭操作。

$1.2$ 使用行列式展开定理递推计算它的特征多项式

记$p_i(x)$表示左上角$i\times i$的矩阵对应的特征多项式。则递推式 可以一通手算得到 ：

$$p_i(x)=x\cdot p_{i-1}(x)-\sum _{m=1}^i{A}_{m,i}(\prod _{j=m+1}^i{A}_{j,j-1})p_{m-1}(x)$$

特别的，$p_0(x)=1$。

对于这道题，考虑将$L$分解成：

$$L=A+xB$$

然后同时对$A,B$进行消元操作，即：

$$L^{\prime }=A^{\prime }+xI$$

最后套用上述做法即可。

注意到第一步过程中如果有一列被消完了那么就将这一列乘上$x$（等价于将$A$的这一列搬到$B$上），如果乘$x$的次数$>n$就寄了。

因为都是板子，所以建议多看一下代码。

注意行和列都要进行操作。

复杂度$O(n^3)$。

#include
#define ll long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N=505;
const int mod=998244353;
int n,p[N];
ll A[N][N],B[N][N],dp[N][N],res[N];
ll fpow(ll x,ll y=mod-2){
    ll z(1);
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1)z=z*x%mod;
        x=x*x%mod;
    }return z;
}
void add(ll &x,ll y){
    x=(x+y)%mod;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)cin>>p[i];
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            if(p[i]>p[j]){
                A[i][i]++,A[j][j]++,A[i][j]--,A[j][i]--;
            }
            else{
                B[i][i]++,B[j][j]++,B[i][j]--,B[j][i]--;
            }
        }
    }
    n--;
    int mul=0;
    ll coef=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=i;j<n;j++){
            if(A[j][i]!=0){
                swap(A[i],A[j]);
                swap(B[i],B[j]);
                if(i!=j)coef*=-1;
                break;
            }
        }
        while(A[i][i]==0){
            for(int j=0;j<n;j++){
                A[j][i]=B[j][i];
                B[j][i]=0;
            }mul++;
            if(mul>n){
                for(int i=0;i<=n;i++)cout<<0<<"\n";
                return 0;
            }
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(A[j][i]!=0){
                    ll x=A[j][i];
                    for(int k=0;k<n;k++){
                        add(A[k][i],-A[k][j]*x);
                        add(B[k][i],-B[k][j]*x);
                    }
                }
            }
            for(int j=i;j<n;j++){
                if(A[j][i]!=0){
                    swap(A[i],A[j]);
                    swap(B[i],B[j]);
                }
                if(i!=j){
                    coef*=-1;
                }
                break;
            }
        }
        ll inv=fpow(A[i][i]);
        coef=coef*A[i][i]%mod;
        for(int j=0;j<n;j++){
            A[i][j]=A[i][j]*inv%mod;
            B[i][j]=B[i][j]*inv%mod;
        }
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            if(A[j][i]!=0){
                ll x=A[j][i];
                for(int k=0;k<n;k++){
                    add(A[j][k],-x*A[i][k]);
                    add(B[j][k],-x*B[i][k]);
                }
            }
        }
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            if(A[i][j]!=0){
                ll x=A[i][j];
                for(int k=0;k<n;k++){
                    add(A[k][j],-x*A[k][i]);
                    add(B[k][j],-x*B[k][i]);
                }
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<n-1;i++){
        int p=-1;
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            if(B[j][i]!=0){
                p=j;
                break;
            }
        }
        if(p==-1)continue;
        if(p!=i+1){
            for(int j=0;j<n;j++)swap(B[i+1][j],B[p][j]);
            for(int j=0;j<n;j++)swap(B[j][i+1],B[j][p]);
        }
        for(int j=i+2;j<n;j++){
            if(B[j][i]!=0){
                ll x=B[j][i]*fpow(B[i+1][i])%mod;
                for(int k=0;k<n;k++)add(B[j][k],-B[i+1][k]*x);
                for(int k=0;k<n;k++)add(B[k][i+1],B[k][j]*x);
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            B[i][j]=-B[i][j];
        }
    }
    dp[0][0]=coef;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            dp[i+1][j+1]=dp[i][j];
        }
        ll v=1;
        for(int j=i;j>=0;j--){
            for(int k=0;k<=i+1;k++){
                add(dp[i+1][k],-v*dp[j][k]%mod*B[j][i]);
            }if(j)v=v*B[j][j-1]%mod;
        }
    }
    for(int i=mul;i<=n;i++)res[i-mul]=dp[n][i];
    for(int i=0;i<=n;i++)cout<<(res[i]+mod)%mod<<" ";
}