【算法设计】动态规划算法设计——天平平衡、数塔问题(C++实现)

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一、天平平衡问题

问题描述

已知一个天平左右两端共有n个挂钩，且有m个不同质量的钩码，求将钩码全部挂到钩子上使天平平衡的方法的总数。试设计求解该问题的动态规划算法。

算法思想和解题思路

m个钩码要么挂在左边，要么挂在右边，使得左右平衡，也就是说使得左右两边的钩码重量之和相等

左边或者右边的钩码重量之和是全部钩码重量之后的二分之一，天平的两端的重量和为m

从给定的数字数组中选择m个数字，并将它们分配到天平的两边，使得左右两边的数字之和相等

判断当前钩码的重量是否大于等于j，如果是的话，就将dp[j]加上dp[j - 当前钩码的重量]

	dp[j] = dp[j] + dp[j - arr[i - 1]];

• 定义状态：dp[i]表示总重量为i时可以形成的平衡重量组合的数量。然后通过遍历每个钩码，尝试将这个钩码放到左边或者不使用这个钩码，然后更新dp数组
• 状态转移方程：当前钩码的重量是否大于等于j，如果是则 dp[j] = dp[j] + dp[j - arr[i - 1]]; // 将dp[j]加上dp[j - 当前钩码的重量]
• 边界条件：当没有钩码时，只有一种方案，即dp[0] = 1

C++代码

#include 
using namespace std;

void sumMethod(int m,int n,int arr[])
{
	int dp[100] = { 0 };
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)		// 对钩码数量n进行循环  
	{
		for (int j = m; j >=1; j--)	// 对全部钩码的重量之和的二分之一m进行循环  
		{
			if (j >= arr[i - 1])		// 如果j大于等于当前钩码的重量  
			{
				dp[j] = dp[j] + dp[j - arr[i - 1]];	// 则将dp[j]加上dp[j - 当前钩码的重量]
			}
		}
	}
	for (int j = 0; j <= m; j++)	// 对全部钩码的重量之和的二分之一m进行循环  
	{  
		cout << dp[j] << " ";
	}
	cout << endl;
}

int main()
{
	int m = 27;//全部钩码的重量之和的二分之一，问题中的n
	int n = 9;//钩码的数量，即题目中的m（个钩码）
	int a[] = { 10,9,8,7,6,5,4,3,2 };
	sumMethod(m, n, a);
	int m2 = 10;
	int n2 = 4;
	int a2[] = { 7,6,4,3 };
	sumMethod(m2, n2, a2);
	return 0;
}

二、数塔问题

问题描述

对于诸如下图的数塔，若从顶层走到底层，每一步只能走到相邻的结点，求经过的结点的数字之和最大的路径

试设计求解该问题的动态规划算法

算法思想和解题思路

从数塔的顶部开始，对于每个位置，选择向左走还是向右走，使得走过的路径上的数字之和最大

在数塔问题中，我们可以用一个二维数组dp来保存每个位置的最大值

• 定义状态：data[i][j]表示数塔中位置(i, j)上的数字，对于每个位置(i, j)，我们可以通过比较从左侧位置(i+1, j)和右侧位置(i+1, j+1)的最大值，来决定是从左走还是从右走
• 状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + data[i][j]
• 边界条件：dp[0][0]为数塔底部位置的最大值。

C++代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
void maxSum(int n)
{
    int arr[100][100];
    int dp[100][100];
    cout << "输入数塔:" << endl;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= i; j++)
        {
            cin >> arr[i][j];
            dp[i][j] = arr[i][j];
        }
    }
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
    {
        for (int j = 0; j <= i; j++)
        {
            dp[i][j] += max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]);
        }
    }
    cout << "数字之和最大为：" << dp[0][0] << endl;
}
int main()
{
    int n;
    cout << "输入数塔层数：";
    cin >> n;
    maxSum(n);
    return 0;
}

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