Eigen入门之密集矩阵 1 -- 类Matrix介绍
简介
本篇介绍Eigen中的Matrix类。在Eigen中，矩阵和向量的类型都用Matrix来表示。向量是一种特殊的矩阵，其只有一行或者一列。
Matrix构造
在Matrix.h中，定义了Matrix类，
其中的构造器包括如下的5个，可以看到定义Vector也是使用Matrix。
/** \brief Constructs a fixed-sized matrix initialized with coefficients starting at \a data */
EIGEN_DEVICE_FUNC
explicit Matrix(const Scalar *data);
/** \brief Constructs a vector or row-vector with given dimension. \only_for_vectors
*
* This is useful for dynamic-size vectors. For fixed-size vectors,
* it is redundant to pass these parameters, so one should use the default constructor
* Matrix() instead.
*
* \warning This constructor is disabled for fixed-size \c 1x1 matrices. For instance,
* calling Matrix(1) will call the initialization constructor: Matrix(const Scalar&).
* For fixed-size \c 1x1 matrices it is therefore recommended to use the default
* constructor Matrix() instead, especially when using one of the non standard
* \c EIGEN_INITIALIZE_MATRICES_BY_{ZERO,\c NAN} macros (see \ref TopicPreprocessorDirectives).
*/
EIGEN_STRONG_INLINE explicit Matrix(Index dim);
/** \brief Constructs an initialized 1x1 matrix with the given coefficient */
Matrix(const Scalar& x);
/** \brief Constructs an uninitialized matrix with \a rows rows and \a cols columns.
*
* This is useful for dynamic-size matrices. For fixed-size matrices,
* it is redundant to pass these parameters, so one should use the default constructor
* Matrix() instead.
*
* \warning This constructor is disabled for fixed-size \c 1x2 and \c 2x1 vectors. For instance,
* calling Matrix2f(2,1) will call the initialization constructor: Matrix(const Scalar& x, const Scalar& y).
* For fixed-size \c 1x2 or \c 2x1 vectors it is therefore recommended to use the default
* constructor Matrix() instead, especially when using one of the non standard
* \c EIGEN_INITIALIZE_MATRICES_BY_{ZERO,\c NAN} macros (see \ref TopicPreprocessorDirectives).
*/
EIGEN_DEVICE_FUNC
Matrix(Index rows, Index cols);
/** \brief Constructs an initialized 2D vector with given coefficients */
Matrix(const Scalar& x, const Scalar& y);
//......
简化Matrix和Vector定义
还有使用macro定义的一些简化类名定义，用于固定column 或者Row的方阵，以及向量。比如在一些项目中看到的 Matrix3f, Matrix4i， Vector4f……。
这些macro如下：
#define EIGEN_MAKE_TYPEDEFS(Type, TypeSuffix, Size, SizeSuffix) \
/** \ingroup matrixtypedefs */ \
typedef Matrix<Type, Size, Size> Matrix##SizeSuffix##TypeSuffix; \
/** \ingroup matrixtypedefs */ \
typedef Matrix<Type, Size, 1> Vector##SizeSuffix##TypeSuffix; \
/** \ingroup matrixtypedefs */ \
typedef Matrix<Type, 1, Size> RowVector##SizeSuffix##TypeSuffix;
#define EIGEN_MAKE_FIXED_TYPEDEFS(Type, TypeSuffix, Size) \
/** \ingroup matrixtypedefs */ \
typedef Matrix<Type, Size, Dynamic> Matrix##Size##X##TypeSuffix; \
/** \ingroup matrixtypedefs */ \
typedef Matrix<Type, Dynamic, Size> Matrix##X##Size##TypeSuffix;
如上的定义，则有：
// 定义一个浮点型的4X4的方阵类型。
typedef Matrix<float, 4, 4> Matrix4f;
// 定义一个浮点型的3行的列向量类型。
typedef Matrix<float, 3, 1> Vector3f;
// 定义一个整形的长度为2的行向量类型。
typedef Matrix<int, 1, 2> RowVector2i;
特殊值 Dynamic
上面都是固定大小的矩阵或者向量。Eigen不仅支持在编译时指定了维度的矩阵Matrix，而且支持使用一个特殊值Dynamic来指定Rows或（和）Columns，指示编译时大小并不知道。而在运行时，才会真正地处理其大小尺寸。
template<typename _Scalar, int _Rows, int _Cols, int _Options, int _MaxRows, int _MaxCols>
class Matrix
: public PlainObjectBase<Matrix<_Scalar, _Rows, _Cols, _Options, _MaxRows, _MaxCols> >
就如上面固定大小的矩阵，有其简化定义形式。Dynamic指示的非固定的Matrix也有简化定义形式。如：
// 定义一个double型的,行数和列数均编译时未知的Matrix。
typedef Matrix<double, Dynamic, Dynamic> MatrixXd;
// 定义一个向量，但编译时还不知道其长度。
typedef Matrix<int, Dynamic, 1> VectorXi;
当然行数或者列数可以知道其中之一。如下：
Matrix<float, 3, Dynamic> matrixA;
Matrix<float, Dynamic, 4> matrixB;
示例
如下示例，使用构造器定义一下Matrix
使用默认构造器
这时，不会执行内存分配，也不会初始化矩阵参数，仅定义了一个Matrix变量。
Matrix3f a;
MatrixXf b;
构造器指定大小尺寸
此时，指定了大小，将分配内存空间，但是并不初始化各个矩阵或者向量参数。
MatrixXf a(8,15);
VectorXf b(30);
Eigen中提到，为统一固定大小或者Dynamic类型的Matrix的定义，可以在构造器参数中指定大小值，但这些值可能并不需要，也没有用处。比如：
// 这里构造器上的rows =3， columns = 3并不需要
Matrix3f a(3,3);
指定Matrix系数的构造器
对具有较少系数的Matrix，可以在构造时指定这些系数。比如：
// 定义具有长度为2的整形向量
Vector2i a(5, 6);
// 定义具有长度为3的double型向量
Vector3d b(5.0, 6.0, 7.0);
// 定义具有长度为4的浮点向量
Vector4f c(5.0, 6.0, 7.0, 8.0);
对Matrix的系数访问
在使用Matrix或者Vector时，一定要有系数Coefficient。如何操作/访问这些系数呢？
Matrix类重载了括号操作符(),提供对系数的访问。针对矩阵，参数为（row, column）,而针对Vector，则只有一个参数index了。这些参数都是以0作为起始的整数。
注意：
对矩阵访问，单个参数也是允许的，但其操作是按照矩阵的系数数组来进行操作的。而这会有个内存存储顺序的问题，Eigen按照Column为主的顺序进行存储，但可以更改设置，变为以Row为主序。
如有有源程序 matrix_1.cpp：
#include 编译：
$ g++ matrix_1.cpp -o matrix_1 -I /usr/local/include/eigen3
$
输出：
$ ls matrix_1
The matrix m:
3 -1
2.5 1.5
The matrix m（1）:
2.5
The vector v:
4
3
初始化： Comma_initializtion
在Eigen内，使用comma-initializer的语法来进行matrix、vector的初始化。
**注意：**使用comma-initializer来初始化matrix时，是以row为主序来进行输入的。这和上面提到的访问时的顺序可能不一致。
如下的示例：
// matrix_2.cpp
#include 编译一下，执行后，可以看到结果。
$ g++ matrix_2.cpp -o matrix_2 -I /usr/local/include/eigen3
$ ./matrix_2
The matrix m:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
The vector v:
1
2
size及赋值
对一个matrix的row，column数量的访问，Eigen中的Matrix提供了row(), columns(), size()函数。
Matrix<double, 4, 3> m;
std::cout << "rows: " << m.rows() ; // rows: 4
std::cout << "columns: " << m.cols() << std::endl; // columns: 3
std::cout << "It has " << m.size() << " coefficients" << std::endl; // It has 12 coefficients
对一个Matrix的大小可以使用resize(int rows,int columns)来修改其大小。
Matrix<double, 4, 3> m;
可以把一个Matrix/Vector变量赋值给另一个对应的变量，而对他们的Size并没有限制，如：
Matrix4d md4;
Matrix2f mf2;
mf2 = md4;
mf2.size();
resize & conservativeResize
只有Dynamic类型的Matrix可以改变大小。固定大小的matrix调用resize，执行时也会出错。
MatrixXf a(2,2);
a.resize(5,5);
在resize()一个matrix，可以想象，其系数可能会发生变化，所以此函数是有破坏性的。Eigen中还提供了conservativeResize()函数，用于保护其系数。
对比 fixed、Dynamic对matrix的大小影响
有这样一个问题： 我们应该使用固定大小的matrix、还是选择使用不固定的Dynamic大小的matrix呢？Eigen官方对此问题的答案是： 如果你的matrix尺寸大小很小，不超过16，就使用固定尺寸的，否则使用浮动的不固定尺寸的matrix。固定大小尺寸的matrix有性能上的极大优势。因为在内部实现上，固定尺寸大小的matrix简单地使用了数组Array来管理系数。而使用Dynamic的matrix，会使用动态内存分配，而且存在系数访问时的展开位计算。
比如：Matrix4f mymatrix;就相当于float mymatrix[16];;而MatrixXf mymatrix(rows,columns); 相当于float *mymatrix = new float[rows*columns];。
可选构造器参数
模板类Matrix，保护了6个参数，后3个参数具有缺省的参数，如下：
Matrix<typename Scalar,
int RowsAtCompileTime,
int ColsAtCompileTime,
int Options = 0,
int MaxRowsAtCompileTime = RowsAtCompileTime,
int MaxColsAtCompileTime = ColsAtCompileTime>
- Options参数
这个参数使用使用bit为标识的一些选项。这里只介绍一下最重要的RowMajor，其标识Matrix使用行优先策略来存储系数数据。缺省下，其值为0，为列优先（column-major）策略。 - MaxRowsAtCompileTime 和 MaxColsAtCompileTime
在你不知道matrix具体大小时，但知道你大小的最大尺寸，使用此参数来指定编译时其最大值。如果合适，Eigen会创建固定尺寸大小的Matrix来替代。
简化Matrix类名
在第一篇中，介绍了使用Macro定义了一些简化Matrix类型和类名。
- MatrixNt --> Matrix
- VectorNt --> Matrix
- RowVectorNt --> Matrix
这里的
- N 表示数量，可以1，2，3……，或者代表Dynamic的不固定大小的X
- t 表示系数的数据类型，可以是 i(int), f(float), d(double), cf(complex) cd(complex)