管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——数据分析——计数原理——排列组合——相同元素隔板法

读书笔记

将n个相同的元素全分给m个对象，每个对象至少分1个。：把这n个元素排成一排，中间有n-1个空，挑出m-1个空放上挡板，自然就分成了m组，所以分法一共有$C_{n-1}^{m-1}$种；
将n个相同的元素全分给m个对象，每个对象至少分0个元素（即可以为空）。：增加m个元素（m为对象的个数），此时一共有n+m个元素，中间形成n+m-1个空，选出m-1个空放上挡板即可，共有$C_{n+m-1}^{m-1}$种方法。

⛲️——理解

一、考点讲解

1. 适用条件
   （1）元素相同；（2）对象不同；（3）每个对象至少分到1个。
2. 方法原理
   由于物品相同，每个对象仅以分到的数量来进行区分，所以通过隔板调整分配的数量，故隔板有几种放法就表示有几种分法。
3. 公式
   n个元素相同，m个分配对象不同，如果分配对象非空，即每个对象至少分一个，则有$C_{n-1}^{m-1}$种。
   理解：将n个相同元素摆成一排，它们之间有$n-1$个空位，插入$m-1$块隔板就可以分成m份，所以公式为$C_{n-1}^{m-1}$。
   如果分配对象允许空，此时将元素看成$m+n$个，再用隔板法，则有$C_{n+m-1}^{m-1}$种。
   二、考试解读
   （1）注意隔板法的使用条件，元素相同和对象不同。
   （2）难点在于分配数量，不同的数量要求公式不同。
   （3）考试频率级别：低。
   三、命题方向
   隔板法使用要求：①n个元素要相同；②m个分配对象不同。
   如果分配对象非空，即每个对象至少分一个，则有$C_{n-1}^{m-1}$种；
   如果分配对象允许空，则有$C_{n+m-1}^{m-1}$种。

⛲️

使用要求：① n个元素要相同；② m个分配对象不同。
对应公式：
① 如果分配对象非空，即每个对象至少分一个，则有$C_{n-1}^{m-1}$种；
② 如果分配对象允许空，则有$C_{n+m-1}^{m-1}$种。

——推导

相同元素的分配

1. 相同元素分配问题——推导
   1.标准命题模型：将n个相同的元素全分给m个对象，每个对象至少分1个。
   （1）解法：相同元素的分配问题，使用挡板法。具体如下：
   把这n个元素排成一排，中间有n-1个空，挑出m-1个空放上挡板，自然就分成了m组，所以分法一共有$C_{n-1}^{m-1}$种，这种方法称为挡板法。
   （2）要使用挡板法需要满足以下条件：
   ① 所要分的元素必须完全相同；
   ② 所要分的元素必须完全分完；
   ③ 每个对象至少分到1个元素。
   2.变化1：可以为空
   （1）命题模型：将n个相同的元素全分给m个对象，每个对象至少分0个元素（即可以为空）。
   （2）解法：增加元素法，增加m个元素（m为对象的个数），此时一共有n+m个元素，中间形成n+m-1个空，选出m-1个空放上挡板即可，共有$C_{n+m-1}^{m-1}$种方法。
   3.变化2：可以为多
   （1）命题模型：将n个相同的元素全分给m个对象，每个对象至少可以分到多个元素。
   （2）解法：通过减少元素法，使题目满足使用挡板法的条件③，即每个对象至少分到1个元素。

2. 相同元素分配问题——提炼
   （1）相同元素分配不同对象至少分1个：
   解题方法：
   挡板法：把n个相同元素排成一排，中间只有$n-1$个空，从中放$m-1$个挡板，故一共有$C_{n-1}^{m-1}$种分法。
   （2）可以为0型：
   解题方法：
   增加元素法：增加m个元素（m为对象的个数），使每个对象至少分得1个元素，满足了挡板法使用的条件，分法共$C_{n+m-1}^{m-1}$种。
   （3）可以为多型：
   解题方法：
   减少元素法：使每个对象至少分得1个元素，再使用挡板法。

表现形式：题目中出现相同元素。
解题的时候根据题目的意思直接套插板公式即可。
$C_{n-1}^{m-1}$：把n个相同元素，放进m个不同的位置，每个位置至少放一个的方法数。【把这n个元素排成一排，中间有n-1个空，挑出m-1个空放上挡板，自然就分成了m组】
$C_{n+m-1}^{m-1}$：把n个相同元素，放进m个不同的位置，每个位置允许空放的方法数。【增加m个元素（m为对象的个数），此时一共有n+m个元素，中间形成n+m-1个空，选出m-1个空放上挡板】

1. 隔板法的要求条件相当严格，必须具备以下3个条件，缺一不可：
   A.所要分的物品必须完全相同
   B.所要分的物品必须全部分完，不允许有剩余
   C.参与分物品的每个成员至少分到一个，分配不允许空
2. 结论：将n个完全相同的元素分给m个对象（m≤n）：
   如果分配对象非空（即符合AB条件，不符合C条件），即每人至少分得一个则有$C_{n-1}^{m-1}$种方法；
   如果分配对象允许空，则有$C_{n+m-1}^{m-1}$种方法。