并查集 rank 的优化

上一小节介绍了并查集基于 size 的优化，但是某些场景下，也会存在某些问题，如下图所示，操作 union(4,2)。

根据上一小节，size 的优化，元素少的集合根节点指向元素多的根节点。操作完后，层数变为4，比之前增多了一层，如下图所示：

由此可知，依靠集合的 size 判断指向并不是完全正确的，更准确的是，根据两个集合层数，具体判断根节点的指向，层数少的集合根节点指向层数多的集合根节点，如下图所示，这就是基于 rank 的优化。

我们在并查集的属性中，添加 rank 数组，rank[i] 表示以 i 为根的集合所表示的树的层数。

...
private int[] rank;   // rank[i]表示以i为根的集合所表示的树的层数
private int[] parent; // parent[i]表示第i个元素所指向的父节点
private int count;    // 数据个数
...

构造函数相应作出修改：

...
// 构造函数
public UnionFind4(int count){
    rank = new int[count];
    parent = new int[count];
    this.count = count;
    // 初始化, 每一个parent[i]指向自己, 表示每一个元素自己自成一个集合
    for( int i = 0 ; i < count ; i ++ ){
        parent[i] = i;
        rank[i] = 1;
    }
}
...

合并两元素的时候，需要比较根节点集合的层数，整个过程是 O(h)复杂度，h为树的高度。

...
public void unionElements(int p, int q){
    int pRoot = find(p);
    int qRoot = find(q);
    if( pRoot == qRoot )
        return;

    if( rank[pRoot] < rank[qRoot] ){
        parent[pRoot] = qRoot;
    }
    else if( rank[qRoot] < rank[pRoot]){
        parent[qRoot] = pRoot;
    }
    else{ // rank[pRoot] == rank[qRoot]
        parent[pRoot] = qRoot;
        rank[qRoot] += 1;   // 此时, 我维护rank的值
    }
}
...

Java 实例代码

UnionFind3.java 文件代码：

package runoob.union;
/**
 * 基于rank的优化
 */
public class UnionFind4 {
    private int[] rank;   // rank[i]表示以i为根的集合所表示的树的层数
    private int[] parent; // parent[i]表示第i个元素所指向的父节点
    private int count;    // 数据个数
    // 构造函数
    public UnionFind4(int count){
        rank = new int[count];
        parent = new int[count];
        this.count = count;
        // 初始化, 每一个parent[i]指向自己, 表示每一个元素自己自成一个集合
        for( int i = 0 ; i < count ; i ++ ){
            parent[i] = i;
            rank[i] = 1;
        }
    }
    // 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
    // O(h)复杂度, h为树的高度
    private int find(int p){
        assert( p >= 0 && p < count );
        // 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点
        // 根节点的特点: parent[p] == p
        while( p != parent[p] )
            p = parent[p];
        return p;
    }
    // 查看元素p和元素q是否所属一个集合
    // O(h)复杂度, h为树的高度
    public boolean isConnected( int p , int q ){
        return find(p) == find(q);
    }
    // 合并元素p和元素q所属的集合
    // O(h)复杂度, h为树的高度
    public void unionElements(int p, int q){
        int pRoot = find(p);
        int qRoot = find(q);
        if( pRoot == qRoot )
            return;
        if( rank[pRoot] < rank[qRoot] ){
            parent[pRoot] = qRoot;
        }
        else if( rank[qRoot] < rank[pRoot]){
            parent[qRoot] = pRoot;
        }
        else{ // rank[pRoot] == rank[qRoot]
            parent[pRoot] = qRoot;
            rank[qRoot] += 1;   // 维护rank的值
        }
    }
}