数组题目：递增的三元子序列

题目

标题和出处

标题：递增的三元子序列

出处：334. 递增的三元子序列

难度

6 级

题目描述

要求

给你一个整数数组 $\text{nums}$，如果存在这样的三元组下标 $\text{(i, j, k)}$ 满足 $\text{i < j < k}$ 和 $\text{nums[i] < nums[j] < nums[k]}$，返回 $\text{true}$；否则，返回 $\text{false}$。

示例

示例 1：

输入：$\text{nums = [1,2,3,4,5]}$
输出：$\text{true}$
解释：任何 $\text{i < j < k}$ 的三元组都满足题意。

示例 2：

输入：$\text{nums = [5,4,3,2,1]}$
输出：$\text{false}$
解释：不存在满足题意的三元组。

示例 3：

输入：$\text{nums = [2,1,5,0,4,6]}$
输出：$\text{true}$
解释：三元组 $\text{(3, 4, 5)}$ 满足题意，因为 $\text{nums[3] = 0 < nums[4] = 4 < nums[5] = 6}$。

数据范围

• $\text{1}\le \text{nums.length}\le {\text{10}}^{\text{5}}$
• ${\text{-2}}^{\text{31}}\le \text{nums[i]}\le {\text{2}}^{\text{31}}-\text{1}$

进阶

你能实现时间复杂度为 $\text{O(n)}$，空间复杂度为 $\text{O(1)}$ 的解决方案吗？

解法

思路和算法

这道题中，数组 $\text{nums}$ 的长度最大为 $5\times 10^5$，暴力解法会超出时间限制，必须使用复杂度较低的解法。

由于题目要寻找递增的三元子序列，只有当数组的长度大于等于 $3$ 时，才存在三元子序列，因此当数组的长度小于 $3$ 时，直接返回 $\text{false}$ 即可。

当数组的长度大于等于 $3$ 时，只需要遍历数组一次，使用 $O(n)$ 时间和 $O(1)$ 的空间即可判断是否存在递增的三元子序列。维护两个变量 $\text{firstNum}$ 和 $\text{secondNum}$ 分别存储递增三元子序列的第一个数和第二个数，任何时候都满足 $\text{firstNum}<\text{secondNum}$，如果遍历过程中遇到一个大于 $\text{secondNum}$ 的元素，即找到了一个递增三元子序列。

具体做法是，初始化 $\text{firstNum}=\text{nums}[0]$，$\text{secondNum}=+\infty$（代码中使用整型的最大值表示 $+\infty$）。由于 $\text{nums}[0]$ 已经赋值给 $\text{firstNum}$，因此从下标 $1$ 开始遍历数组 $\text{nums}$。对于遍历到的元素 $\text{num}$，进行如下操作：

• 如果 $\text{num}>\text{secondNum}$，则 $(\text{firstNum},\text{secondNum},\text{num})$ 即为同时满足下标递增和元素值递增的递增三元子序列，返回 $\text{true}$；

• 如果 $\text{firstNum}<\text{num}\le \text{secondNum}$，则如果在 $\text{num}$ 的后面存在 ${\text{num}}_2$ 满足 ${\text{num}}_2>\text{num}$，则 $(\text{firstNum},\text{num},{\text{num}}_2)$ 即为一个递增三元子序列，由于 $\text{num}\le \text{secondNum}$，因此将 $\text{num}$ 的值赋给 $\text{secondNum}$，只要在 $\text{num}$ 的后面找到一个元素大于更新后的 $\text{secondNum}$，即找到一个递增三元子序列；

• 如果 $\text{num}\le \text{firstNum}$，则将 $\text{num}$ 的值赋给 $\text{firstNum}$。

上述做法中，如果找到一个递增三元子序列，则三个元素值一定是递增顺序，那么下标是否也满足递增顺序？答案是肯定的。理由如下：

• 当找到 $\text{num}>\text{secondNum}$ 时，$\text{num}$ 一定在 $\text{secondNum}$ 的后面，即 $\text{num}$ 的下标一定大于 $\text{secondNum}$ 的下标；

• 当 $\text{secondNum}$ 被更新时，更新后的 $\text{secondNum}$ 一定在 $\text{firstNum}$ 的后面，即 $\text{secondNum}$ 的下标一定大于 $\text{firstNum}$ 的下标；

• 当 $\text{firstNum}$ 被更新时，虽然更新后的 $\text{firstNum}$ 在 $\text{secondNum}$ 的后面，但是更新前的 ${\text{firstNum}}^{\prime }$ 满足 ${\text{firstNum}}^{\prime }<\text{secondNum}$ 且 ${\text{firstNum}}^{\prime }$ 在 $\text{secondNum}$ 的前面，即 ${\text{firstNum}}^{\prime }$ 的下标小于 $\text{secondNum}$ 的下标。

因此，虽然没有记录三个元素的具体下标值，但是可以保证三个元素的下标满足递增顺序。

代码

class Solution {
    public boolean increasingTriplet(int[] nums) {
        int length = nums.length;
        if (length < 3) {
            return false;
        }
        int firstNum = nums[0], secondNum = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            int num = nums[i];
            if (num > secondNum) {
                return true;
            } else if (num > firstNum) {
                secondNum = num;
            } else {
                firstNum = num;
            }
        }
        return false;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 $\text{nums}$ 的长度。遍历数组 $\text{nums}$ 一次，遍历过程中维护 $\text{firstNum}$ 和 $\text{secondNum}$ 的值，对于每个位置，维护两个变量的时间复杂度是 $O(1)$，因此总时间复杂度是 $O(n)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。