回溯算法总结篇

定义

首先先来了解一下回溯的定义吧

回溯是递归的副产物，只要有递归就会有回溯

所以回溯经常和二叉树，深度优先遍历等操作联系到一起，因为他们都用到了递归。
回溯本质上是暴力搜索，效率并不高，最多剪枝一下。

回溯法可以解决的问题

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

回溯模板（重点）

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

组合问题

用递归控制for循环嵌套的数量
搜索的过程：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集。

剪枝精髓是：for循环在寻找起点的时候要有一个范围，如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够题目要求的k个元素了，就没有必要搜索了。

例题：
组合总和3
本题的剪枝会好想一些，即：已选元素总和如果已经大于n（题中要求的和）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉
组合问题2
本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。
所以需不需要startIndex呢？
如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：电话号码的字母组合
注意以上只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路
组合问题2
本题涉及到去重问题，代码随想录提到了树枝去重和树层去重，都知道组合问题可以抽象为树形结构，那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上“使用过”，一个维度是同一树层上“使用过”。

可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：

• used[i - 1] == true，说明同一树支candidates[i - 1]使用过
• used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过

切割问题

分割回文串
本题有以下难点

• 切割问题其实类似组合问题
• 如何模拟那些切割线
• 切割问题中递归如何终止
• 在递归循环中如何截取子串
• 如何判断回文

子集问题

子集
模板题
在树形结构中子集问题是要收集所有节点的结果，而组合问题是收集叶子节点的结果。
本题其实可以不需要加终止条件，因为startIndex >= nums.size()，本层for循环本来也结束了，本来我们就要遍历整颗树
子集2
开始涉及去重，还是上文说到的树枝去重和树层去重，用一个used数组，一样的套路。

排列问题

排列是有序的，也就是说[1,2] 和[2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。
元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要在使用一次1，所以处理排列问题就不用使用startIndex了。
全排列
排列问题的不同：

• 每层都是从0开始搜索而不是startIndex
• 需要used数组记录path里都放了哪些元素了

N皇后问题

N皇后
棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，这样就可以套进回溯法的模板里了。

解数独

解数独
这道题是回溯法中比较难的。
但理解 “二维递归”这个过程，发现就没那么难了。N皇后问题 (opens new window)是因为每一行每一列只放一个皇后，只需要一层for循环遍历一行，递归来遍历列，然后一行一列确定皇后的唯一位置。本题就不一样了，本题中棋盘的每一个位置都要放一个数字，并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。

总结

好好做完上面那些问题，可以回答下：

• 如何理解回溯法的搜索过程？
• 什么时候用startIndex，什么时候不用？
• 如何去重？如何理解“树枝去重”与“树层去重”？
• 去重的几种方法？
• 如何理解二维递归？