数学模型——实验建模

通过已知数据，尝试拟合的方程
对于：采用阶梯向下代替，例：等
对于：采用阶梯向上代替，例：代替
或者是两者相反，x用阶梯向下，y用阶梯向上。
通过不断尝试，从而找到近似拟合方程的结构式（可以用最小二乘准则确定）

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高阶多项式模型

根据因变量个数确定多项式最高阶
即多项式
将所有数据带入 计算 确定 的值

多项式的拉格朗日形式

给定 ,

其中

优点：多项式易于估计出未知模型的积分和微分
缺点：在估计邻界值有较大误差

改进方法：

光滑化：低阶多项式模型

1. 确定插值多项式的阶（小于最高阶）
2. 确定系数
   过程：选取一部分值代入即可

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例题：拟合方程设为
产生最佳拟合数据的二次式模型，将极小化偏差平方和求出二次型
即
极小化必要条件：

由此产生以下方程：

代数值求解系数

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三阶样条插值

在连续的数据点对之间使用不同的三阶多项式。

线性样条：

当数据紧密排列时，估计两点（已知）间的某点取值，以假设两点间为线性函数。

三阶样条：

在区间 与 ，分别定义样条函数

一阶与二阶导数：

在函数内部， 点处导数应匹配

在端点 与 处，一阶导数不变 常数 二阶导数为0
得
此称自然样条
若给定
以及
称强制样条