高数:极限的定义

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极限的定义:

 数列极限的几何意义:

由极限的定义得出的极限的两个结论:

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极限的第三个结论:

 例题

方法1: ​编辑

方法2: ​编辑

方法3:

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极限的定义:

高数:极限的定义_第1张图片

 如何理解呢?

极限的通俗理解:

 用数列的语言来说:

当数列的项数n无限增大时,数列的项要多接近就有多接近与a。

 我们如何理解?

答:首先,我们要清楚,极限是一个无限的过程,对于无限的过程,我们要以有限的形式进行表达,上图就是我们对于极限的有限表达。

 |Xn-a|是什么意思?

答:首先要清楚Xn的意思是数列的第n项,a表示我们的极限值,所以 |Xn-a|表示我们数列的项和极限值的接近程度。

 这是什么意思?

答:

 为什么要使用'任意'符号?

答:高数:极限的定义_第2张图片

这里是什么意思?

答:存在N,让N以后的项无限接近于常数a,这个N其实是不存在的,因为极限是一个无限的过程,我们假设N存在,N之后的元素是无限接近于常数a的,所以N只是用来刻画n无限增大以至于无限接近于常数a的这个过程。

 数列极限的几何意义:

等价于:

 高数:极限的定义_第3张图片

 这时候就形成一个领域:

高数:极限的定义_第4张图片

 我们可以把N当作数列有限项与无限项的分割线:

高数:极限的定义_第5张图片

 在N之后的数列中的项是放在领域之内的:

高数:极限的定义_第6张图片

 在领域中的无限项表示无限接近于极限值a。

高数:极限的定义_第7张图片

 一句话总结数列极限的定义:

高数:极限的定义_第8张图片

由极限的定义得出的极限的两个结论:

 高数:极限的定义_第9张图片

 我们对结论1进行阐述:

答:a表示我们数列的极限,当b

我们对结论2进行阐述:

答:a表示数列的极限,当c>a时,也就是c大于数列的极限,所以N之后的无限项全部无限接近于a值,但是比a值小,因为c值比a值大,所以N之后的无限项全部小于c值。

极限的第三个结论:

数列Xn的极限与数列的前n项无关。

高数:极限的定义_第10张图片

 Xn+1相当于去掉了数列的第一项,数列的第一项并不影响我们的极限值。

所以:

高数:极限的定义_第11张图片

 我们之前知道一个结论:单调有界一定有极限。

单调有界不一定要从第一项就开始单调,在某一段区间上单调他也有极限。

例题1:

结果依然为1,因为右式是数列Xn的奇数部分,也是原来数列的部分项,所以又叫右式为数列Xn的奇数列。

奇数列和偶数列都是原来数列的部分项,所以奇数列和偶数列的极限也等于原数列的极限值a。

所以数列有极限可以推导出数列的奇数列和偶数列都有极限,但是数列的奇数列或者偶数列都有极限可以推导出数列有极限吗?

答:并不能,例如:

 数列的奇数列为:

高数:极限的定义_第12张图片

奇数列全为-1,所以奇数列的极限值也为-1.

数列的偶数列为: 

 高数:极限的定义_第13张图片

 偶数列全为1,所以偶数列的极限值也为1.

虽然奇数列和偶数列都有极限值,但是他们的极限值不同,所以无法推导出数列有极限。

当奇数列和偶数列都有极限值,并且奇数列和偶数列的极限值相同的情况下==>数列有极限。

答:因为奇数列和偶数列虽然是数列的部分列,但是这两个部分列的集合包括了数列的所有项,所有的项的极限值都以a为极限,则该数列的极限值为a。

 例题

高数:极限的定义_第14张图片

方法1: 高数:极限的定义_第15张图片

方法2: 

方法3:

高数:极限的定义_第16张图片 

 

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