CTF Crypto RSA算法 入门总结（全）
RSA算法—— CTF 新手入门 （看完就能做题）
- 一、初步认识
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- （1）B站简单认识
- （2）不到20分钟让你学会RSA原理之数学质数与RSA密码算法
- 二、简单理解
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- 1. 百度解释
- 2.带你彻底理解RSA算法原理
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- (1)加密：
- (2) 解密
- 三、深入理解
-
- 1.阮一峰——RSA算法原理（一）
- 2.阮一峰——RSA算法原理（二）
- 四、附必要的数学基础：
- 五、CTF例题
-
- 1. ctf.show crypto4
- 2. ctf.show crypto5
- 3. XCTF easy_RSA
- 4. XCTF Normal_RSA
- 5. Bugku
就像小时候刚学各种方程一样，一上来就很吓唬人，觉得晦涩难懂，懂了就觉得很简单，有个循序渐进，由浅入深的过程。
自己总结的笔记
一、初步认识
（1）B站简单认识
不到20分钟让你学会RSA原理之数学质数与RSA密码算法
通俗理解：
选两个大质数p和q，且p!=q，计算N=pq
计算N的欧拉函数 ∮(n)=(p-1)(q-1)
选一个e满足 1与
（n，e）为公钥，（n，d）为私钥
加密：C = M e (mod n)
解密：M = C d（mod n）
（2）不到20分钟让你学会RSA原理之数学质数与RSA密码算法
不到20分钟让你学会RSA原理之数学质数与RSA密码算法
用到数论中质数的性质
p、q是很大的质数，乘积m是更大的质数
p、q很容易算出m，但从m很难推出p、q
数越大，使得m分解出p、q的成本超出秘密本身的成本，就是安全的
传统密码演算法——映射（对应奇怪的符号）
公钥演算法——同余（更抽象，圆运算）
∮(n) : 不大于n，与n互质的所有整数的个数
以N=6为例，
N=pxq
6=2x3
∮(n)=1x2=2，有两个，就是1，5
第四行，找比∮(n)小，且互质的的自然数
根据辗转相除法，写出最下面的两个式子，找到x，y
最后都丢掉，只留下N，e，x
对外界发布N，e，自己留私钥x
A为需要传输的明文，A的e次方除以N算出余数R
拿到余数R，知道x，R的x次方，除以N，算出明文A
费马小定理（先出现，欧拉再推广）
A的∮y等于1（Euler totient function，即欧拉函数）
欧拉-费马定理：
不大于n，与n互质的自然数有多少个？
A和n互质，多少次结果还是互质
公开e，N；公钥是（e,N）即（17，3233）
私藏；d私钥是（d，N） 即（2753，3233）
二、简单理解
1. 百度解释
迷迷糊糊，懵懵懂懂，马马虎虎
大白话，通俗描述：
（1）选择一对不同的、足够大的素数p，q。
（2）计算n=pq。
（3）计算f(n)=(p-1)(q-1)，同时对p, q严加保密，不让任何人知道。
（4）找一个与f(n)互质的数e，且1
这个公式也可以表达为
原文这个是错的！！！ d ≡e-1 mod f(n) 应该是把e除到分母了
d ≡ e-1 mod f(n)
这里要解释一下，≡是数论中表示同余的符号。公式中，≡符号的左边必须和符号右边同余，也就是两边模运算结果相同。显而易见，不管f(n)取什么值，符号右边1 mod f(n)的结果都等于1；符号的左边d与e的乘积做模运算后的结果也必须等于1。这就需要计算出d的值，让这个同余等式能够成立。
（6）公钥KU=(e,n)，私钥KR=(d,n)。
（7）加密时，先将明文变换成0至n-1的一个整数M。若明文较长，可先分割成适当的组，然后再进行交换。
Gamma(z) = \int_0^\infty t{z-1}e{-t}dt,.
$$
2.带你彻底理解RSA算法原理
带你彻底理解RSA算法原理
(1)加密：
RSA加密是对明文的E次方后除以N后求余数的过程。
只要知道E和N任何人都可以进行RSA加密了，所以说E、N是RSA加密的密钥，也就是说E和N的组合就是公钥，用(E,N)来表示公钥。
（E、N有特别要求，暂时不管）
E：Encryption 加密
N：Number 数字
(2) 解密
RSA解密，密文进行D次方后除以N的余数就是明文。
知道D和N就能进行解密密文了，所以D和N的组合就是私钥
RSA的加密方式和解密方式是相同的
加密是求 E次方的mod N
解密是求 D次方的mod N
D：Decryption 解密
N：Number 数字
后面作者说的很详细了
学的差不多了？来深入了解一下！
三、深入理解
就讲的很好！
1.阮一峰——RSA算法原理（一）
阮一峰——RSA算法原理（一）
2.阮一峰——RSA算法原理（二）
阮一峰——RSA算法原理（二）
四、附必要的数学基础：
-
基础整合
黄映焜的博客园 ( 基础知识整合 ) -
公式图表
-
质数（素数）：
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为质数（素数）；否则称为合数。 -
互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。
判别方法主要有以下几种（不限于此）：
（1）两个质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
（6）大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。
（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。等等。
- 模运算：模运算是整数运算，有一个整数m，以n为模做模运算，即m mod n。用m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。例如，10 mod 3=1；26 mod 6=2；28 mod 2 =0。
a ≡ b (mod n)
原文表述错误： 给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即(a-b)modm=0， 那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(modm)，同时可成立amodm=b ，再次提醒注意，同余与模运算是不同的
查了百度，不是非要0，而且不能那么说吧。
数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。
≡ 表示同余，即MOD的符号，表示模。
a和b除以n后余数相同，读作a与b同余,mod为n。
如果我们以3为模，则4与7就是关于3同余的。记作7≡4 (mod 3)，8≡5 (mod 3)，26≡5 (mod 7)。
简单理解，当取余，python立面自己试试看，1%20=1，千万不要当作是20
同余涉及：欧拉定理，费马小定理，中国剩余定理（孙子定理）
假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B，过程如下：
（1）设计公私密钥(e,n)和(d,n)。
令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3与20互质）则e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。
d怎样取值呢？可以用试算的办法来寻找。
试算结果见下表：
当d=7时，3x7 mod 20 = 1 mod 20 = 1，即 e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。因此，可令d=7。从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥（私钥）为：KR =(d,n)=(7,33)。
（2）英文数字化。
将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：
则得到分组后的key的明文信息为：11，05，25。
（3）明文加密
用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：
因此，得到相应的密文信息为：11，31，16。
6. 欧拉函数
任意给定正整数n，计算在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示.
例如，在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以φ(n)=4
在RSA算法中，我们需要明白欧拉函数对以下定理成立
如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n=p×q，则有：φ(n)=φ(pq)=φ(p)φ(q);
根据“大数是质数的两个数一定是互质数”可以知道：
一个数如果是质数，则小于它的所有正整数与它都是互质数；
所以如果一个数p是质数，则有：φ(p)=p-1
由上易得，若我们知道一个数n可以分解为两个质数p和q的乘积，则有
φ(n)=(p-1)(q-1)
五、CTF例题
一起来做做你曾经望而生畏的简单题
1. ctf.show crypto4
题目
https://ctf.show/challenges#crypto4
解题视频
https://www.bilibili.com/video/BV12t4y1y75J?from=search&seid=16581163553083825362
p=447685307 q=2037 e=17
flag{d}
https://buuoj.cn/challenges#RSA
同BUUCTF Crypto RSA
在一次RSA密钥对生成中，假设p=473398607161，q=4511491，e=17
求解出d作为flga提交
求私钥d
import gmpy2
p = 447685307
q = 2037
e = 17
n = p*q
phi_n = (p-1)*(q-1)
d = gmpy2.invert(e,phi_n)
print(d)
53616899001
'''
import gmpy2
n=pq
phi =(p-1)(q-1)
ed=1 mod phi
常用的库
import libnum
libnum.n2s(n) 16进制转字符串
libnum.s2n(s) 字符串转16进制
gmpy2.mpz(n)初始化一个大整数
n=invert(m,phi)求mod phi的逆元
pow(m,e,n)求c^d mod n
gmpy2.is_prime(n) 素性检测
gmpy2.gcd(a,b) 欧几里得算法，最大公约数
gmpy2.gcdext(a,b) 扩展欧几里得算法
gmpy2.iroot(x,n) x开n次根
'''
p=473398607161
q=4511491
phi=(p-1)*(q-1)
e=17
d=gmpy2.invert(e,phi)
print(d)
2. ctf.show crypto5
https://ctf.show/challenges#crypto5
p=447685307 q=2037 e=17 c=704796792
提交flag{m}
//
同 BUUCTF rsarsa
Math is cool! Use the RSA algorithm to decode the secret message, c, p, q, and e are parameters for the RSA algorithm.p =
9648423029010515676590551740010426534945737639235739800643989352039852507298491399561035009163427050370107570733633350911691280297777160200625281665378483
q =
11874843837980297032092405848653656852760910154543380907650040190704283358909208578251063047732443992230647903887510065547947313543299303261986053486569407
e = 65537 c =
83208298995174604174773590298203639360540024871256126892889661345742403314929861939100492666605647316646576486526217457006376842280869728581726746401583705899941768214138742259689334840735633553053887641847651173776251820293087212885670180367406807406765923638973161375817392737747832762751690104423869019034Use RSA to find the secret message
import gmpy2
p=447685307
q=2037
e=17
c=704796792
n = p*q
phi_n = (p-1)*(q-1)
d = gmpy2.invert(e,phi_n)
m = pow(c,d,n)
print(m)
import gmpy2
p = 9648423029010515676590551740010426534945737639235739800643989352039852507298491399561035009163427050370107570733633350911691280297777160200625281665378483
q = 11874843837980297032092405848653656852760910154543380907650040190704283358909208578251063047732443992230647903887510065547947313543299303261986053486569407
e = 65537
c = 83208298995174604174773590298203639360540024871256126892889661345742403314929861939100492666605647316646576486526217457006376842280869728581726746401583705899941768214138742259689334840735633553053887641847651173776251820293087212885670180367406807406765923638973161375817392737747832762751690104423869019034
n = p*q
phi_n = (p-1)*(q-1)
d = gmpy2.invert(e,phi_n)
m = pow(c,d,n)
print(m)
904332399012
3. XCTF easy_RSA
在一次RSA密钥对生成中，假设p=473398607161，q=4511491，e=17 求解出d
import gmpy2
p=473398607161
q=4511491
e=17
n = p*q
phi_n = (p-1)*(q-1)
d = gmpy2.invert(e,phi_n)
print(d)
(∮(n)+1) / e = d
p=473398607161
q=4511491
e=17
n = p*q
phi_n = (p-1)*(q-1)
d = (phi_n+1)//17
print(d)
125631357777427553
4. XCTF Normal_RSA
enc: flag的密文
pem: 公钥 public key
openssl rsa -pubin -text -modulus -in warmup -in pubkey.pem
openssl rsa -pubin -text -modulus -in warmup -in pubkey.pem > 1.txt
RSA Public-Key: (256 bit)
Modulus:
00:c2:63:6a:e5:c3:d8:e4:3f:fb:97:ab:09:02:8f:
1a:ac:6c:0b:f6:cd:3d:70:eb:ca:28:1b:ff:e9:7f:
be:30:dd
Exponent: 65537 (0x10001)
Modulus=C2636AE5C3D8E43FFB97AB09028F1AAC6C0BF6CD3D70EBCA281BFFE97FBE30DD
-----BEGIN PUBLIC KEY-----
MDwwDQYJKoZIhvcNAQEBBQADKwAwKAIhAMJjauXD2OQ/+5erCQKPGqxsC/bNPXDr
yigb/+l/vjDdAgMBAAE=
-----END PUBLIC KEY-----
modulus：N
exponent：e
16进制数转10进制
a = "C2636AE5C3D8E43FFB97AB09028F1AAC6C0BF6CD3D70EBCA281BFFE97FBE30DD"
print(int(a,16))
87924348264132406875276140514499937145050893665602592992418171647042491658461
大数分解出质因数，得到p、q
http://www.factordb.com/
p=275127860351348928173285174381581152299
q=319576316814478949870590164193048041239
e=65537
@@@用rsatool
https://github.com/ius/rsatool
C:\Users\Nah\Desktop>python2 rsatool.py -o private.pem -e 65537 -p 275127860351348928173285174381581152299 -q 319576316814478949870590164193048041239
Using (p, q) to initialise RSA instance
n =
c2636ae5c3d8e43ffb97ab09028f1aac6c0bf6cd3d70ebca281bffe97fbe30dd
e = 65537 (0x10001)
d =
1806799bd44ce649122b78b43060c786f8b77fb1593e0842da063ba0d8728bf1
p = 275127860351348928173285174381581152299 (0xcefbb2cf7e18a98ebedc36e3e7c3b02b)
q = 319576316814478949870590164193048041239 (0xf06c28e91c8922b9c236e23560c09717)
Saving PEM as private.pem
Traceback (most recent call last):
File "rsatool.py", line 154, in <module>
data = rsa.to_pem()
File "rsatool.py", line 88, in to_pem
return (PEM_TEMPLATE % base64.encodestring(self.to_der()).decode()).encode()
File "rsatool.py", line 97, in to_der
seq.setComponentByPosition(len(seq), Integer(x))
File "C:\Python27\lib\site-packages\pyasn1\type\univ.py", line 2267, in __len__
return len(self._componentValues)
File "C:\Python27\lib\site-packages\pyasn1\type\base.py", line 214, in plug
raise error.PyAsn1Error('Attempted "%s" operation on ASN.1 schema object' % name)
pyasn1.error.PyAsn1Error: Attempted "__len__" operation on ASN.1 schema object
kali，windows双失败
正常操作，生成private.pem文件
python rsatool.py -f PEM -o private.pem -p 275127860351348928173285174381581152299 -q 319576316814478949870590164193048041239 -e 65537
用openssl用private.pem解密flag.enc文件并将明文生成txt文件
rsautl -decrypt -in flag.enc -inkey private.pem -out flag.txt
@@@用RsaCtfTool
https://github.com/Ganapati/RsaCtfTool
https://github.com/3summer/CTF-RSA-tool
python RsaCtfTool.py --publickey pubkey.pem --uncipherfile flag.enc
/home/haha/.local/lib/python2.7/site-packages/cryptography/__init__.py:39: CryptographyDeprecationWarning: Python 2 is no longer supported by the Python core team. Support for it is now deprecated in cryptography, and will be removed in a future release.
CryptographyDeprecationWarning,
[*] Testing key pubkey.pem.
Traceback (most recent call last):
File "RsaCtfTool.py", line 261, in <module>
attackobj.attack_single_key(publickey, attacks_list)
File "/home/haha/下载/RsaCtfTool-master/lib/rsa_attack.py", line 174, in attack_single_key
self.load_attacks(attacks_list)
File "/home/haha/下载/RsaCtfTool-master/lib/rsa_attack.py", line 123, in load_attacks
except ModuleNotFoundError:
NameError: global name 'ModuleNotFoundError' is not defined
那个模块不支持py2
用法一：已知公钥(自动求私钥)
python3 RsaCtfTool.py --publickey pubkey.pem --uncipherfile flag.enc
python RsaCtfTool.py --publickey 公钥文件 --uncipherfile 加密的文件
用法二：已知公钥求私钥。
RsaCtfTool.py --publickey 公钥文件 --private
用法三：密钥格式转换
把PEM格式的公钥转换为n，e
python RsaCtfTool.py --dumpkey --key 公钥文件
把n,e转换为PEM格式
python RsaCtfTool.py --createpub -n 782837482376192871287312987398172312837182 -e 65537
Results for pubkey. pem:
Unciphered data:
b'\x00\×02\ xc0\ xfe\x04\ xe38\x0e[\x87\×00PCTF{256b_i5_m3dium}\n'
PCTF{256b_i5_m3dium}
或者直接使用python脚本
from Crypto.PublicKey import RSA
from Crypto.Cipher import PKCS1_v1_5
from gmpy2 import invert
with open('flag.enc','r') as f:
cip=f. read()
n = 87924348264132406875276140514499937145050893665602592992418171647042491658461L
e = 65537L
p = 275127860351348928173285174381581152299L
q = 319576316814478949870590164193048041239L
phi=(p-1)*(q-1)
d=invert(e, phi)
privkey=RSA.construct((n,e,long(d),p,q))
key1=PKCS1_v1_5. new(privkey)
print key1.decrypt(cip,'')[:-1]
import math
import sys
from Crypto.PublicKey import RSA
keypair = RSA.generate(1024)
keypair.p = 275127860351348928173285174381581152299
keypair.q = 319576316814478949870590164193048041239
keypair.e = 65537
keypair.n = keypair.p*keypair.q
Qn=((keypair.p-1)*(keypair.q-1))
i = 1
while(True):
x = (Qn*i)+1
if(x % keypair.e == 0):
keypair.d = x / keypair.e
break
i += 1
private = open('private.pem', 'w')
private.write(keypair.exportKey())
private.close()
5. Bugku
rsa.txt
https://ctf.bugku.com/files/98e8f374f63ee3ef4818621ceafcb78f/rsa.txt
N : 460657813884289609896372056585544172485318117026246263899744329237492701820627219556007788200590119136173895989001382151536006853823326382892363143604314518686388786002989248800814861248595075326277099645338694977097459168530898776007293695728101976069423971696524237755227187061418202849911479124793990722597
e : 354611102441307572056572181827925899198345350228753730931089393275463916544456626894245415096107834465778409532373187125318554614722599301791528916212839368121066035541008808261534500586023652767712271625785204280964688004680328300124849680477105302519377370092578107827116821391826210972320377614967547827619
enc : 38230991316229399651823567590692301060044620412191737764632384680546256228451518238842965221394711848337832459443844446889468362154188214840736744657885858943810177675871991111466653158257191139605699916347308294995664530280816850482740530602254559123759121106338359220242637775919026933563326069449424391192
给了n，e，c（c就是密文，就是给的enc，你可能会猜这是什么变量，encode加密编码，decode解密解码），求明文m
对着之前的图想想，n分离出 p、q
可以用Wiener’s attack脚本分解质数
def continued_fractions_expansion(numerator,denominator):#(e,N)
result=[]
divident=numerator%denominator
quotient=numerator/denominator
result.append(quotient)
while divident!=0:
numerator=numerator-quotient*denominator
tmp=denominator
denominator=numerator
numerator=tmp
divident=numerator%denominator
quotient=numerator/denominator
result.append(quotient)
return result
def convergents(expansion):
convergents=[(expansion[0],1)]
for i in range(1,len(expansion)):
numerator=1
denominator=expansion[i]
for j in range(i-1,-1,-1):
numerator+=expansion[j]*denominator
if j==0:
break
tmp=denominator
denominator=numerator
numerator=tmp
convergents.append((numerator,denominator))#(k,d)
return convergents
def newtonSqrt(n):
approx = n/2
better = (approx + n/approx)/2
while better != approx:
approx = better
better = (approx + n/approx)/2
return approx
def wiener_attack(cons,e,N):
for cs in cons:
k,d=cs
if k==0:
continue
phi_N=(e*d-1)/k
#x**2-((N-phi_N)+1)*x+N=0
a=1
b=-((N-phi_N)+1)
c=N
delta = b*b - 4*a*c
if delta<=0:
continue
x1= (newtonSqrt(delta)-b)/(2*a)
x2=-(newtonSqrt(delta)+b)/(2*a)
if x1*x2==N:
return [x1,x2,k,d]
N=460657813884289609896372056585544172485318117026246263899744329237492701820627219556007788200590119136173895989001382151536006853823326382892363143604314518686388786002989248800814861248595075326277099645338694977097459168530898776007293695728101976069423971696524237755227187061418202849911479124793990722597
e=354611102441307572056572181827925899198345350228753730931089393275463916544456626894245415096107834465778409532373187125318554614722599301791528916212839368121066035541008808261534500586023652767712271625785204280964688004680328300124849680477105302519377370092578107827116821391826210972320377614967547827619
expansion=continued_fractions_expansion(e,N)
cons=convergents(expansion)
p,q,k,d=wiener_attack(cons,e,N)
print 'p\n', p
print 'q\n', q
p
28805791771260259486856902729020438686670354441296247148207862836064657849735343618207098163901787287368569768472521344635567334299356760080507454640207003
q
15991846970993213322072626901560749932686325766403404864023341810735319249066370916090640926219079368845510444031400322229147771682961132420481897362843199
求出了p、q，那就能求出来 （p-1)(q-1) = ∮
已知了n、e、c、p、q、∮、求m
import binascii
import sys
sys.setrecursionlimit(1000000)
def ByteToHex(bins):
return ''.join(["%02X" % x for x in bins]).strip()
def n2s(num):
t = hex(num)[2:-1] # python
if len(t) % 2 == 1:
t = '0' + t
#print(t)
return(binascii.a2b_hex(t).decode('latin1'))
def egcd(a, b):
if a == 0:
return (b, 0, 1)
else:
g, y, x = egcd(b % a, a)
return (g, x - (b // a) * y, y)
def modinv(a, m):
g, x, y = egcd(a, m)
if g != 1:
print('modular inverse does not exist')
return 'null'
else:
return x % m
c = 38230991316229399651823567590692301060044620412191737764632384680546256228451518238842965221394711848337832459443844446889468362154188214840736744657885858943810177675871991111466653158257191139605699916347308294995664530280816850482740530602254559123759121106338359220242637775919026933563326069449424391192
p = 28805791771260259486856902729020438686670354441296247148207862836064657849735343618207098163901787287368569768472521344635567334299356760080507454640207003
q = 15991846970993213322072626901560749932686325766403404864023341810735319249066370916090640926219079368845510444031400322229147771682961132420481897362843199
e = 354611102441307572056572181827925899198345350228753730931089393275463916544456626894245415096107834465778409532373187125318554614722599301791528916212839368121066035541008808261534500586023652767712271625785204280964688004680328300124849680477105302519377370092578107827116821391826210972320377614967547827619
n = p * q
d = modinv(e, (p - 1) * (q - 1))
m = pow(c, d, n)
print 'm \n', m
flag{Wien3r_4tt@ck_1s_3AsY}
本文为个人学习笔记，仅供学习使用，由于本人基础知识薄弱，欢迎各位大佬批评指正！！！