Python算法：数的全排列、组合详解

目录

求n个数的全排列

使用递归算法求全排列（暴力法）

代码实现

求n个数中随机m个数的全排列

求n个数中任意m个数的组合

二进制法求子集代码：

代码实现

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求n个数的全排列

我们假设要求十个数的全排列，我们有一种十分简单的方法，写一个10级的for循环，如下

for i in range(1,11):
	for j in range(1,11):  #并且让j不等于i
		for k in range(1,11):  #并且让k不等于i,j
			......

这是一种非常容易想到的方法，但我相信没有人会喜欢这种方法。

接下来我们使用另一种方法;

使用递归算法求全排列（暴力法）

求 {1  2  3  4  5......n}的全排列的思路如下：

（1）让第一个数不同，得到n个数列(办法是：把第1个和后面每个数交换即可)：

1 2 3 4 5......n

2 1 3 4 5......n

.....

n 2 3 4 5......1      

以上n个数列，只要第一个数不同，不管后面n-1个数是怎么排列的，这n个数列都不同。

这是递归的第一层

（2）继续：在上面的每个数列中，去掉第一个数，对后面的n-1个数进行类似的排列。例如从上面第2行的{2 1 3 4 5......n}进入第二层(去掉首位2)：

1 3 4 5......n

3 1 4 5......n      

 ......        

n 3 4 5......1      

以上n-1个数列，只要第一个数不同，不管后面n-2个数是怎么排列的，这n-1个数列都不同。

这是递归的第二层。

（3）继续以上过程，直到用完所有数字。

而我们不难得出，这个算法总共有n×(n-1)×(n-2)×......×1个情况。

代码实现

def swap(s,i,j):
    temp = s[i]
    s[i] = s[j]
    s[j] = temp
#全排列实现
def perm(begin,end):
    global num
    if begin == end:
        print(nums)
    else:
        for i in range(begin,end+1):
            swap(nums,begin,i)
            perm(begin+1,end)
            swap(nums,begin,i)
num = 0
nums = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
perm(0,9)

如果想要计算次数，则只需将每一个排列结束时的print语句改成num+=1即可

求n个数中随机m个数的全排列

例如在10个数中取任意3个数的全排列，在递归程序中只修改一个地方就可以了：

if begin == 3:         #将end改为3即可
    print(nums[:3])

求n个数中任意m个数的组合

想要求n个数中任意m个数的组合，我们首先得要知道如何使用二进制法求子集。

例如n=3的集合{a0, a1, a2}，它的子集和二进制数的对应关系是：

 每个子集对应一个二进制数； 这个二进制数中的每个1，都对应了这个子集中的某个元素。

子集的数量是2 ** n个，因为所有二进制数的总个数是2 ** n。

二进制法求子集代码：

def print_subset(n):
    for i in range(1,1<

然后我们在回到我们想要求的问题， 求n个数中任意m个数的组合，对照子集生成的二进制方法，很容易看出，在n个元素的集合中找k个元素的子集，这个子集对应了1的个数为k的二进制数。

想要求出m个数的组合，那我们只需判断我们的k是否等于m便可

如何判断二进制数中1的个数为k个？

一个神奇的操作：kk= kk & (kk - 1)，它能消除kk的二进制数的最后一个1。

例如：7，二进制是111     111&(111-1) = 111&110 = 110

利用这个操作，可以计算出二进制数中1的个数。

例如：7，二进制是111     

111&(111-1) = 111&110 = 110     

110&(110-1) =110&101 =100     

100&(100-1) =100&011 =000    

所以有3个1

代码实现

def print_subset(n,k):
    for i in range(1,1<