射影几何 -- 空间射影几何 2

三维射影变换

三维射影变换是射影空间上的可逆齐次线性变换，这个变换可由 4 × 4 的矩阵 H 来描述：X ′ = H X

矩阵 H 称为射影变换矩阵或称为单应矩阵。三维射影变换有 15 个自由度

 

5 点确定三维射影变换：如果 5 个点对应中任意 4 点不共面，则它们唯一确定一个三维射影变换

 

 

平面与直线的变换规则

射影变换 H 对平面的变换规则是

 

射影变换 H 对直线 L 的变换规则是

其对偶形式是：

 

 

 

二次曲面与变换规则

二次曲面方程所定义： ，其 中 Q 是 4 × 4 的对称矩阵

如果 Q 是降秩的，则称它为退化二次曲面，否则称为非退化二次曲面

 

二次曲面的一些常用性质：

1． 二次曲面有 9 个自由度，即由它的 10 个不同元素的比值所确定，因此空间中 9 个点可确 定一个二次曲面；如果二次曲面是退化的，则可用较少的点来确定；

2． 直线与二次曲面交于两个点 ( 可能是重点或虚点 ) ；

3． 平面 π 与二次曲面 Q 的交是一条二次曲线；

4． 在一般情况下，两个二次曲面的交是一条空间 4 次曲线。如果两个二次曲面都是锥面，则 它们的交线由两条二次曲线所构成。

5． 对于非退化的二次曲面 Q 上的每一点 X   都存在切平面 π ，切平面的坐标由 π =Q X 给出； 如果平面 π 是切平面，则切点 X 的坐标由 给出。锥面 Q 在顶点处不存在切平面， 其他任何一点 X 都存在切平面 π ，切平面的坐标也由 π =QX。与非退化二次曲面不同的是锥面同一条母线上的点有相同的切平面，也就是说给定锥面的切平面不能唯一确定它的切点。

 

 

给定一个二次曲面 Q ，则 π =Q X 确定了空间点与平面的的一个对应关系，通常称为由二次曲面 Q 的配极对应。如果二次曲面 Q 是非退化的，则它的配极对应是点与平面之间的一一对应。在几何上，如果点 X 在二次曲面 Q 上，则它的极平面是点 X 的切平面；如果点 X 不在(非退化)二次曲面 Q 上，则点 X 的极平面是以 X 为顶点的锥面与 Q 的切点所在的平面

 

在射影变换 X ′ =HX 下，二次曲面变换规则是：
 

空间曲面的对偶是指以该曲面的切平面为基本元素在对偶空间 ( 面空间)中所构成的曲面，通常 称对偶曲面Q * 。

在一般情况下，二次曲面的对偶仍为一个二次曲面。

Q 是 Q * 中的所有平面所形成的包络

 

非退化二次曲面的对偶 Q * 仍是二次曲面，并且 。

 

 

锥面的对偶是一条平面曲线

 

锥面 Q 的对偶在对偶空间中是一条二次曲线，这条二次曲线的支撑面是锥面顶点的对偶，锥面 Q 的母线在对偶空间中被压缩为二次曲线上的一个点。锥面 Q 的对偶可以用下述方程来描述：

空间二次曲线的对偶曲面是一个锥面，二次曲线的支撑平面的对偶是这个锥面的顶点，二次曲线上的一个点在对偶空间中被扩展为锥面的一条母线，二次曲线的切线与锥面的母线构成一一对应关系。

 

 

 

对偶二次曲面的变换规则

在 ( 点 ) 变换 X ′ =H X 下，应用平面的变换规则 ，立即得到对偶二次曲面Q *的变换规则：

 

锥面的对偶曲面 Q * 是一条空间二次曲线，可以由对偶锥面和平面的变换规则来联合表达：

 

 

绝对二次曲线

绝对二次曲线 是 上的一条 ( 点)二次曲线。在欧氏坐标系下 ，

是下述方程的解集：

它是 上的一条虚二次曲线。尽管 没有实点，但它具有二次曲线的共同性质

 

性质：

 

 

 

三维射影空间中，令 d 1 和 d 2 是两条直线与二次曲线 所在平面 的交点，它表示这两条直线在射影空间中的方向。  是绝对二次曲线在平面 上的矩阵表示。则两条直线交角可以通过下述公式来计算：

 

绝对二次曲线 的对偶是三维空间中的退化对偶二次曲面，称它为绝对二次曲面并记为 。

在三维射影空间中，若绝对二次曲面的矩阵表示为 ，则两平面 π 1 和 π 2 之间的夹角由下式给出：

特别地，在欧氏空间中，若两平面的坐标 ，则两平面的夹角计算公式简化为：

 

 

 

令 Q r 是中心在原点半径 r 为的球面，则它的矩阵表示为

即球面 Qr 上的点 满足方程：

可以将绝对二次曲线作为球面 Q r 在 r → ∞ 时的极限。