leetcode：204. 计数质数

题目来源

• leetcode：204. 计数质数

题目描述

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {

    }
};

题目解析

素数筛法

• 先把所有整数列出来，然后把2的倍数全部剔除，然后把3的倍数全部剔除…
• 遍历所有素数，如果没有被划去，它一定是素数，然后把它的倍数也划去

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        // 写程序时要时刻注意边界条件
        if (n < 3){
            return 0;
        }
        
        std::vector<bool> f(n, false); // < n
        int count = n / 2; // 所有偶数都不要，还剩几个数
        for (int i = 3; i * i < n; ++i) {
            if(f[i]){
                continue;
            }

            for (int j = i * i; j < n; j += 2 * i) {
                if (!f[j]) {
                    --count;
                    f[j] = true;
                }
            }
        }
        
        return count;
    }
};

埃氏筛

准备：

• 算术基本定理：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积
• 若一个数可以进行因数分解，则得到的两个数一定是有一个>=sqrt(x),另一个<=sqrt(x).

算法步骤

N = 26，

• 1、列出所有序列
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
• 2、找到第一个素数：0，1不是素数【去掉】，2是素数、序列变成： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
• 3、将剩下的队列中，划掉2的倍数，序列变成：2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
• 4、如果这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的所有的数都是素数，否则回到第二步。
• 5、本例中，因此25大于2的平方，我们返回第二步：
• 6、剩下的序列中第一个素数是3，将主序列中3的倍数划掉，主序列变成：2 3 5 7 11 13 17 19 23 25
• 7、我们得到的素数有：2，3
• 8、25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
  序列中第一个素数是5，同样将序列中5的倍数划掉，主序列成了：2 3 5 7 11 13 17 19 23
  9、我们得到的素数有：2，3，5 。
  10、因为23小于5的平方，跳出循环.
  结论：2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        // 写程序时要时刻注意边界条件
        if (n < 2){
            return 0;
        }

   
        std::vector<int> arr(n, 0);// 0 表示都是素数
        arr[0] = arr[1] = 1;   // 1 表示不是素数
   
        for (int i = 2; i <= std::sqrt(n - 1); i++){
            if (arr[i] == 0){  // 没有被圈出来
                // 去掉倍数
                for (int j = i * 2; j <= n - 1 ; j = j + i){  // 2 的倍数去掉， 3的倍数去掉，5的倍数去掉
                    arr[j] = 1;  // 去掉倍数
                }
            }
        }


        int ans = 0;
        for (int value : arr) {
            if (value == 0) {
                ans++;
            }
        }

        return ans;
    }

};

优化暴力

假如一个数为 9 ，那么其二分之一（4.5）后的数都可以不用进行计算，因为肯定是有余的 。事实上情况会比这更好一些：对正整数 n ，如果用 2 到 √n 之间(包含边界)的所有整数去除，均无法整除，则 n 为质数

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        int ans = 0;

        for (int i = 2; i < n; i++){
            if (Primes(i)){
                ans++;
            }
        }

        return ans;
    }


    static bool Primes(int n){
        bool flag = true;
        int t = (int)std::sqrt(n);
        for (int i = 2; i < t + 1; i++){
            if (n % i == 0){
                flag = false;
                break;
            }
        }

        return flag;
    }
};

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