东莞市松山湖第二小学 金帅 2021年4月15日
四月，花红柳绿的时节，万物复苏，一片生机勃勃。2021年4月8日至4月10日，为期三天的第十三届悦远教育小学数学“创意课程与教学”研讨会在东莞如期举行,我们松湖二小人一行15人，有幸在三天的时间见证了16位嘉宾，10堂研讨课以及一场教研风暴。三天的时间，我们见到了小数数学的各位名师以及青年才俊，包括我们周日经常看直播的“名师三人行”团队陈编、章博和王圣昌老师悉数到场，群星璀璨，内容精彩纷呈。陈编的一句“今天是余生里最年轻的一天”温暖亲切，瞬间打动了我。
培训结束了，自己的内心却还是激动不已，专家的思想和理念虽不能一一领悟，那些妙却横生的金句犹如一杯清茶，沁人心脾，自己有获也有“惑”，我喜欢做一个记录者，把自己的感悟和思考分享给大家。
思考一：关于十进制和位值制
章博给人的印象思路清晰、简洁明快，其发言言简意赅，直击要害，给一线数学老师在计算单元上提供一条非常清晰的可度量的教学路径。章博指出小学数学所有的计算单元的五个层次：
1）数的组成；
2）运算的意义及联系；
3）一种学生自己理解的算法；
4）与其他算法的沟通和联系；
5）主动、灵活、创新的应用各种算法。
这也让促使我思考在小学数学数的运算这一领域，学生会遇到各种各样的困难，最突出的问题还是在于对十进制和位值制理解的偏差。现在人们日常生活中所不可或离的十进位值制，就是中国的一大发明。正如李约瑟所说：“如果没有这种十进位制，就不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”十进制的核心思想在于满十进一，用十个不同的字符（0-9）来表示不同的数。位值制则通过不同的位置表示不同的计数单位，并按照一定的顺序排列。孩子们理解了十进位值制，以后迁移认识二进制、八进制以及其他进制以及它们之间的关系和转化就会变得很自然，水到渠成。十进位值制有两个方向，一个是不断的累积，产生更大的计数单位，从个、十、百、千、万到亿、兆、京、垓，不断的走向宏观，走进浩瀚宇宙，如长度单位一光年为9460730472580800米，需要引进更大的单位千兆（拍）（10^15）来简洁表示，约为9.46拍；另一个方向是不断的细分，出现更微小的计数单位，如十分之一、百分之一、千分之一，不断的走向微观，去探究微观世界，如纳米技术中的纳米，单位为十亿分之一（10^-9 ）米。，史宁中老师在《基本运算和运算法则》中则是把这些计数单位当作一组无穷维空间上的一组“基”，任何一个实数（当然包括无理数）都可以写成这些“基”的线性组合，并且系数都是自然数，如123.56=1×10^2+2×10^1+3×10^0+5×10^-1+6×10^-2，加引号则是由于这组基不是一组真正意义上的一组基，它们是线性线性相关的，各个基之间可以线性表示，所以这种线性表示的方法不唯一，如123.56还可以表示为123.56=12×10^1+3×10^0+5×10^-1+6×10^-2等等，这一点对于加法和减法的进位和退位的运算非常重要。章博指出横式明算理，竖式表算法。我是非常赞同的，不少孩子不明白为何乘法的竖式和加法和减法的竖式有着显著的区别，用横式表示则会非常清晰，比如123×45，写成横式则变为
123×45
=（1×10^2+2×10^1+3×10^0）×（4×10^1+5×10^0）
=（1×10^2+2×10^1+3×10^0）×（5×10^0）+（1×10^2+2×10^1+3×10^0）×（4×10^1）。
要让孩子们清楚的弄明白加减乘除四则运算，我们可以将这个复杂的问题转化为儿童更容易理解的计数单位的运算，在乘法和除法运算中表现的更为明显。在乘法和除法中，计数单位则会发生转化，比如计数单位十和千的乘积，由乘法的意义可以看做是10个千或者1000个十，两个计数单位相乘可以换算得到更大的计数单位万，比如1200×30，先把1200看作是12个百和30看作是3个十，然后两个计数单位百和十运算得到更大的计数单位千，问题则转化为求有多少个这样的千的计数单位，只需要把各自的系数相乘即可，一共是12×3个千，即36个千。
当学生理解了任何乘法都可以转化为计数单位的系数相乘时，学生在学习小数乘整数时就会更加清晰。如3.2×6，当学生理解了小数的意义3.2看作是32个十分之一，即32×0.1, 6看作是6个一，即6×1，从而转化为32×0.1×6×1，,进行单位和系数的分离，32和6为计数单位的系数，0.1和1为计数单位，即为（32×6）×（0.1×1）,计数单位十分之一和一相乘后还是十分之一，问题转化为一共有多少个这样的计数单位十分之一，这样小数乘整数就转化为整数乘整数的情形，只是计数单位发生了变化。
小数乘法的算理总结如下：
1）先分离出两个乘数的计数单位；
2）旧的计数单位运算转换得到新的计数单位；
3）将小数乘整数转化成整数乘整数并带有新的计数单位的情形；
4）根据乘法的意义进行计数单位的重新换算。
小数乘小数则可以由相同的思路转化为整数乘整数情形，只是计数单位发生了变化。如3.2×0.26, 3.2可以看作是32个0.1，即32×0.1, 0.26可以看作是26个0.01，即26×0.01，3.2×0.26则可以转化为32×0.1×26×0.01，进行计数单位的转化后变为（32×26）×0.001，也就是求有多少个千分之一这样的计数单位，通过计数单位的运算以及转化的思想让孩子们弄明白整数乘整数和小数乘整数以及小数乘整数的联系，建立孩子们的结构化思维，明白事物是普遍联系的。
对于小数除法，人教版教材采用的处理手法是直接利用商的变化规律转化为除数是整数的情形。这种处理方式优点明确，学生容易操作，算法非常清晰，但是忽略了学生对算理的理解。例如7.65÷0.85，学生可以根据商不变的性质很容易转化为除数是整数的除法，却难以明白背后的算理。这里我们不妨尝试用用十进位值制计数单位转换的想法，7.65是765个0.01，即765×0.01，0.85是85个0.01，即85×0.01。所以7.65÷0.85转化为（765×0.01）÷（85×0.01），先进行计数单位的换算，0.01÷0.01=1，,得到新的计数单位一，则原式转化为（765÷85）×1，这个问题就转化为求有多少个这样的计数单位一。学生明确并理解了十进位值制以及计数单位在小学数学计算领域的作用，相信我们老师也会教得轻松，学生学得快乐。
思考二：从“踢十法”到“插空法”
罗鸣亮老师通过别样的师生问礼鼓励孩子打破常规，为“踢十法”的引入买下伏笔，为孩子带来了小淘气的故事，应到学生独立思索，合作探究，站在儿童的视角，将课堂还给学生，让孩子们自我发现，自我感知。罗老师的课引发了我的思考：踢十法能否推广到多位数乘一位数，多位数乘两位数，甚至多位数乘多位数的情形？。踢十法背后的数学原理主要想利用表内乘法口诀，同时不引发相同数位上的加法进位，我们将其推广到一般情形，利用其特征不妨叫它“插空法”。
还原三位数乘一位数的踢十法模型：
cba×d=(c0a+b×10)×d，其中a,b,c,d为0-9的数字，最高位上的数字c不为0
如123×4=（103+20）×4
推广到多位数乘一位数的“插空法”模型：
以2n位数乘一位数为例
例如12345678×9=（2040608+1030507×10）×9
推广三位数乘两位数的“插空法”模型：
如123×45=（103+20）×（4+5×10）
推广2n位数乘两位数的“插空法”模型：
如12345678×56=（2040608+1030507×10）×（5+6×10）
从而踢十法可以推广到任意的多位数乘多位数，使学生可以经历知识的迁移，获得成功的喜悦，感受数学的魅力。
思考三：赋予每一个算式以生命力，从特殊到一般再到特殊，螺旋上升。
每一个算式赋予其生命力，让学生在情境中充分感知数学知识的必要，对其充满好奇心，每一个小学生都成为一个小侦探。阶段的不完全归纳法成为培养学生推理能力的一个很重要的方法。
孩子们对每一个实际问题经过自己的思考，关注主要因素，忽略次要因素，猜想、求解并结合实际验证，充分经历数学建模的过程，培养孩子们探索新知的好奇心。孩子们天生就有一种从特殊中总结规律的意识，培养孩子们不完全归纳的意识品质，对于小学阶段的孩子不必要求他们追求数学的严格证明，让孩子们充分利用现有的有限的资源或者数据大胆探索，小心求证，孩子们的好奇心和想象力也会几何级的增长。这种勇于探究大胆尝试的种子和建模的意识一旦植入孩子们的内心世界，必会发芽生根，开花结果。
思考四：离散还是连续？
离散还是连续?有时我也经常提醒自己。我们老师在给孩子们介绍加减乘除的时候，进行算理可视化表征的时候通常更喜欢用小棒或者圆片等离散的物品增强孩子们对算理的深度理解，这种离散化的物品容易得到让孩子们感觉更熟悉，更乐于接受。比如我们在介绍加法的时候，对于某个情境下的5+3，我们通常把实物通过一一对应转化成直观的小棒或者圆片来实现算法的理解，当然如果我们的情景换成是连续的情境，一条毛毛虫沿直线同方向爬了5米，又爬了3米，一共爬了多少米？学生则很可能会通过画两条线段来表征。又比如我们在讲乘法23×11的时候，可以通过离散和连续两种不同的方式来介绍其算理。
对于离散的模型，我们可以借助小棒或者圆片来处理，对于连续的模型一维的可以用长度，二维的可以用面积，三维的可以用体积来表征。当然，连续的模型我们也可以就需要定义单位来做离散化处理，比如时间是连续的，我们可以通过引入时间单位年月日，时分秒等单位来离散化，时间就变成几个这样的单位；同样的长度、面积或者体积来度量的时候我们也可以通过定义1个单位长度的线段、1个单位面积的小正方形或者1个单位面积的小正方体来进行离散化处理。我们可以让孩子们通过离散模型更好的认识连续模型，同时知道它们的联系和区别，让孩子们看到不一样的世界，不一样的风景。
“吾生也有涯，而知也无涯”。我也时刻在提醒自己时刻也是一位学生，需要不断学习，吐故纳新，每隔一段时间进行思考和沉淀。我们老师所做的事情不就是降低孩子们思维的起点，让数学更有趣，让数学更好玩，体会数学之美，美不胜收。最后借用陈编的一句话“等一朵花开需要时间”。每一个孩子的绽放也都需要时间，我们站在孩子的角度，理解孩子们的世界，尊重孩子们的想法，帮助每一个孩子成长，拨云见日，让孩子们始终保持一颗好奇心以及探索未知世界的勇气。