985之路，由数学计算铺就

灯下漫笔——谈谈数学计算（一）

有一种有趣的现象，本不应该成为问题，但是到了最后，就是成了一个严重的问题，就像国足，留给我们的对手真的不多了。

数学计算也中招了。不少理科老师会说，现在学生的计算能力真是不忍直视，令人无语，不知道数学老师是怎么教的，等等。数学老师真的难辞其咎吗？俗语讲，教不严，师之惰。但是数学老师心中苦啊。可以毫不避讳地说，过半数的高中生的计算能力是不达标的。以宁波地区为例，普高录取率只有50%，这意味着九年义务教育之后，近七成的学生，数学计算都没有学好。

笛卡尔说：每一现象必有原因。我非常珍惜这句话，因为它可以促进反思。学生的计算能力普遍不达标，到底是什么原因造成的？问题出在了哪里？首先，高中数学老师一脸蒙圈，我们不教计算了啊，计算是练出来的；初中老师两手一摊，请看看中考数学的平均分，我们教出的成绩足够优秀。锅是没人接的，只能继续找原因。我的观点是，中考降低了考试难度，同样会降低学习要求，导致学生计算能力的普遍下滑。

计算的标准是什么呢？计算无它，唯既快又准尔。今天就认真而又严肃地聊聊数学计算。

一旦接触到数学，两条必走之路，一条是计算之路，另一条是被计算缠绕之路。一直走，没有尽头。这应该成为一种常识，就像饿了需要吃饭一样。如果你没有这种常识，并不怪你，这是数学工作者的失误，我不自量力的尽微薄之力，弥补一些。一言以蔽之，计算是数学有机整体中重要的一部分，计算也决定了数学解题的效率和准确率，快与慢，错与对，都是通过计算展现出结果的。

而关于计算本身又有哪些特性呢？

一是易错性。对人而言，大脑容易犯错，也决定了计算的易错性，无法否认，这几乎是一个必然事件。最常听到家长和学生说：都是会的，粗心算错了，太可惜了。久而久之，易错带来家长辅导孩子作业的矛盾，更严重的是给学生带来信心上的打击，甚至出现厌学情绪。粗心只是一种表象，会的也不是真的会了，算不出正确的结果，就不是真会。没有做到快和准，就要继续努力，如果做到了快和准，完全可以放弃一些重复的作业，空出的时间加大学习难度即可。努力的意义在于，将易错的必然事件转化为小概率事件，基本的计算正确率提升到95%以上，甚至100%。最好的办法是不断的练习，其次要统计出自己经常犯错误的地方，每个人都有特点，会在某个点上惯性的犯错。学生的例子特别多，那就举一个我最近备课的例子。这是镇海高三期中考试题，如下：

二是机械性。是的，计算具有机械性。就像很多学生解一元二次方程，一步一步配方去解；学了空间坐标系，按照步骤有条不紊计算。机械性也有先进和落后之分，解一元二次方程优先因式分解，不能因式分解的，直接公式法一步到位，这样至少要比配方先进一些。也正是计算具有机械性，会给人单调乏味的感觉，结合易错性，引来不少口诛笔伐。

我们需要提防的，正是这样一拨埋怨数学的人，而且顽固的很，危害很大，危害的直接后果就是，它会使不懂分辨的孩子们对数学产生偏见。这一拨人可以大致分两类，一类是一直被数学打击，从没有入数学门的人。他们的表现形式，即是他们的反击方式，就是大谈数学的实用性：学这些，买菜都用不到！既然学习是为了买菜，出门右拐就是菜市场，您先买一桌下酒菜，我们尝尝咸淡，再接着聊呗。可以友情提醒，小学四年级毕业就能满足日常生活的数学需求，连九年义务都不需要。其实他们就是被数学计算打击的，一直算不对，多点耐心就可以了，但就是缺乏耐心。另外一类，就更有意思了，有些小聪明，偶尔在数学考试中取得不错的分数，就沾沾自喜，沾沾自喜的是他们没有付出多少努力，考得还不错，然后总想着些捷径学习数学。数学是没有捷径的，当遇到些闭门羹时，他们首先开始厌烦起数学计算，总觉得那么多机械计算令他们的智商无处发挥，数学有足够多的问题来匹配智商。事实上他们学会列方程就再也不会列算式解应用题了，学会空间坐标系就再也不会几何法了，然后三角变换、圆锥曲线、导数就成为被攻击的主要对象（三角函数在高中已经缩减到不能再少的地步了）。遇到些灵活性强和有些小技巧的题，可以施展一下了，却把这类题归为偏题和怪题，不值得一做。这类人反而危害更大，毕竟有些小聪明，偶尔有人会取得某些方面的小成功，成功者说话会有些分量，但他们对数学的理解，真的限制了他们想象力，而且没有理论基础，也没有实践经验，他们的话不值一听。在浙江，这类人几乎遇不到，因为凭借小聪明，150分的卷子，100分都过不了，甚至跌破90，无法得瑟。反而有时候会安慰一些学生，你们用全国卷，至少可以多考20分。

三是推理性。推理性是计算的价值所在，计算的推理性更具普遍性。平面几何足够伟大，在古希腊盛行几百年，催生公理化系统的诞生，但是到后期作为解决问题的工具，使用起来难度太大，每一步的操作对图形依赖程度太高，对智力水平要求也是到了令人发指的地步，只能是阿基米德等大神能够耍的动，求曲边形面积，不论是小聪明还是大聪明，只能成为看客。又过了1300多年之后，代数运算（字母，符号运算）的诞生及其不断地发展，才迎来新的曙光，这场瑞雪确实来得有些晚。代数运算使人的大脑摆脱了图形的依赖，只需要懂得运算的规则，一步一步算下去，就可以得到意想不到的结果。现在绝大部分的公式，都可以用运算得到。中学里常用的公式：一元二次方程求根公式，指数和对数运算公式，数列性质公式，三角变换公式，求导运算公式等等，不少学生都可以随时推导出来，你可以任意挑一些，算算看。为什么不难掌握，还是要感谢计算的机械性。机械性要求不高，使计算的推理性更具普遍性，能让更多的人掌握。举个例子，比如求曲边形面积，只要记住些积分公式就成，甚至不知道原理都不会影响计算出正确结果。这放在500年前，可是顶端技术。

不能因为计算的优越性，而忽略平面几何，平面几何几百年的发展史，客观存在的，每一现象必有原因，应反思其存在的价值，对我们每个个体能起到什么样的帮助？但我们真的大大降低了平面几何知识的要求，不良后果非常明显，这会在以后的文章中详细讨论。

四是技巧性。代数运算更是形式运算，是形式就会有变形，有变形就有技巧，有技巧就

考虑问题呢？这些技巧对提升运算的效率和准确率有很大的帮助，比如小学的的简便计算，初中的因式分解，是很好的技巧入门。高中的三角变换，不等式的应用和证明，这些都是技巧的进阶过程。不过这些都降低了学习要求，但是技巧也是数学知识的一部分，需要去积累的，就像积累汉语成语，英语句型一样。如果不引起重视，学数学会越学越辛苦，你对技巧没感觉，它怎会主动出来帮助你呢？之所以说是数学技巧，因为这些技巧之能解决一小类问题，如果能解决一大类问题，就要上升到数学思想了。事实上，创造技巧，要比积累技巧难度大多了。这些技巧也不是凭空诞生的，是数学大师或者数学工作者在解决某类问题时，渐悟或者顿悟出的，而成为解决某类问题的关键桥梁。

五是可发展性。计算是数学两项基本功之一。谁也无法否认，任何一门技术活，都是有基本功的。比如练习书法，老师会教手法的基本功，简单笔画横竖撇捺的基本功，这些要不断重复练出来的。记得和一位舞蹈老师聊天，他说有一名学生的基本功练了很多年都没练好，他一个舞蹈动作都没教给他。而数学不仅仅技术含量非常高，而且还是人类心智的荣耀，我们有什么理由不好好练习她的基本功呢？

为了劝学生、激发学生练好计算这项基本功，我想了很多种表达方式，无奈我的语文基本功拖了我的后腿。直到有一天和我的教英语的朋友邱老师聊天，聊到了这个话题，他说英语的基本功就是：1背诵，2背诵，3还是背诵。我问道：您是如何劝学的？邱老师把手机拿出，说道：请看，我是这样和学生以及家长说的。分享如下：背诵是学好英语的关键手段，在习惯养成的过程中可能觉得很苦，一旦养成了这种自觉的习惯，其效果和成就是远远超乎意料的。背诵，不能是临时抱佛脚，要每天抽点时间先读熟再背诵，就像飞机起飞的过程，达不到一定的速度，飞机就不能驶离地面。所以背诵东西，在读熟之前不可强行背诵。背诵的关键好处是培养语感，积累词汇，短语和句型，最终达到对语言的灵活使用。

我心中窃喜，说道：您把这段话发给我吧，我要把这段话发给学生。邱老师诧异道：你教数学的，要它作甚？我打趣的说道：人类学习的科目有时并不相通，我只是觉得它们的痛点是一样的。邱老师还是有些蒙圈。我才一本正经说道：把你这段话里的英语改成数学，背诵改成计算，就是我想要的了。

计算易错是它显性的一个坑，还有一个隐形的大坑，就是其可发展性，不是说笑，这可是大部分数学系学生的掉坑史。可发展性就是在学习数学的不同阶段，对基本功要求越来越高。从初中到高中，从高中到大学，学习数学的内容在变化，难度变加速加大，计算的要求自然更高，虽然标准还是快和准，但付出的努力，要多得多。一个不适应，措手不及掉坑里了，还很难爬出来。计算是一方面，而且思维方式也要跟着转变，这比计算要求更高。

相对来说，数学在某些时候更残酷一些。就拿阅读量来说，不用读书破万卷，哪怕只有三、五百本，然后几年不读书，你在年均读书量不到5本的国家，依然可以横着走啊。可在数学里的某个阶段，若没能达到标准，就只能忍受痛击。为什么用数学系的学生作为例子，因为他们在成长的过程中，可能在小学和中学阶段计算都不需用练，就能达到当时的标准。可到了数学系，太多人掉坑里了。

学数学没有捷径，学数学不能造次。

当选择几何法来解答此题时，用线面垂直作为触发点，找不到想要的线面垂直，就不得不找面面垂直来过渡，而面面垂直也不是那么轻易发现的，就要用线线垂直作为起始点了。经这么一绕，你和立体几何里的所有垂直都怼了一遍，然后发现并不容易做出线面角。求出点E到面PBC的距离，来到了最后一步，要求出斜线CE的长度，或者在三角形PCD中求出中线CE的长度，而这时候你已经经历了中度烧脑，你会选择什么方法呢？是自然而然的来句XX，然后老老实实的用两次余弦定理呢，还是用平行四边形对角线的平方和等于相邻两边平方和的2倍这个定理呢？

技巧的使用需要条件的，打铁还需自身硬。

这人生的旅途，总会遇上彩虹。