进一步理解平衡二叉树(插入)
目录
前言
一.平衡二叉树的概念
二.平衡二叉树的实现
2.1 平衡二叉树结点的定义
2.2 平衡二叉树的插入
2.2.1按照二叉搜索树的方式插入新结点
2.2.2 更新平衡因子
2.2.3 旋转
2.3 平衡二叉树的验证
2.4 总代码
2.5 平衡二叉树的删除
前言
前面我们了解了二叉搜索树，也进行了对二叉搜索树的简单实现。但是二叉搜索树存在一个缺陷。
当要在搜索树里插入或者删除数据时，都需要进行查找。查找体现了搜索树的效率。当插入二叉树搜索树的集合是一个有序序列时，二叉搜索树会形成一个单支树。变成一个链状结构，这样查找的效率大大降低，最坏情况下，查找的效率为O(N)。并没有很好的体现出搜索树的性质。
而平衡二叉树就很好的体现出了搜索树的性质，查找的效率是树的高度次，最坏的情况下查找的效率是O(logN)。
下面就来详细介绍是如何实现平衡二叉树的。
一.平衡二叉树的概念
首先一颗平衡二叉树必须是一颗二叉搜索树。二叉树搜索树的所有性质都符合平衡二叉树。另外平衡二叉树还具有一下性质：
- 左右子树的高度差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)。
- 左右子树也都是平衡二叉树。
这里引出来一个平衡因子的概念：平衡因子是平衡二叉树的高度差。
计算公式为：平衡因子 = 右子树子树的高度 - 左子树子树的高度。(注意是子树的高度)
例如：
根据上面的概念，如果一颗二叉搜索树是高度平衡的，即平衡因子绝对值小于等于1，这棵树就是平衡二叉树。如果右n个结点，搜索时的时间复杂度就是O(logN)。
二.平衡二叉树的实现
2.1 平衡二叉树结点的定义
//二叉树应用KV模型
template
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const pair kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
,_bf(0)
, _kv(kv)
{}
AVLTreeNode *_left;//该节点的左孩子
AVLTreeNode *_right;//该节点的右孩子
AVLTreeNode *_parent;//该节点的父亲
//平衡因子
int _bf;
//保存的是键值对，pair结构体
pair _kv;
}; 实现的这颗平衡二叉树是KV模型的，二叉树是按照键值对
每个结点了处理右左右结点指针和键值对外，还增加了父指针和平衡因子。父指针是为了更方便更新平衡因子，平衡因子是用来判断该节点是否平衡。
注意平衡因子不是必须的，可以直接求结点左右子树的高度，在求差值。
2.2 平衡二叉树的插入
平衡二叉树也是一颗二叉搜索树，插入也要利用二叉搜索树的性质进行插入。只是需要在此基础上还需要更新结点的平衡因子，检测结点的平衡因子，遇到不符合条件的需要旋转处理。
所以要实现平衡二叉树的插入步骤是：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 更新结点的平衡因子。更新完该节点的平衡因子后，需要检测该节点的平衡因子。如果平衡因子绝对值小于等于1，再判断是否需要继续往上更新结点平衡因子。如果平衡因子绝对值大于等于2，旋转处理。
2.2.1按照二叉搜索树的方式插入新结点
这个只需要按照二叉搜索树的性质，如果插入结点的键值key大于当前结点键值，往右子树走，如果插入结点的键值key小于当前结点的键值，往左子树走。如果插入结点的键值key等于当前结点键值，说明已存在，插入失败。
注意：插入结点是以叶子结点插入的。还要注意更新父节点。
//空结点，根节点就是新插入结点
if (_root == nullptr){
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node *cur = _root;
Node *parent = nullptr;
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first){
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first){
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else{
return false;
}
}
//找到插入位置，现在进行插入
cur = new Node(kv);
//要更新父节点
cur->_parent = parent;
//判断插入父节点的左边还是右边
if (parent->_kv.first < kv.first){
parent->_right = cur;
}
else{
parent->_left = cur;
}2.2.2 更新平衡因子
注意：插入一个结点，只会影响当前结点父节点，或者说是祖先结点的平衡因子。但是并不会影响全部的父节点或者祖先结点。所以更新平衡因子从下往上更新。
比如说：
- 如何更新平衡因子呢？
在结点更新时，是从插入节点一直向父节点更新的。从下往上更新。
如图：
由平衡因子的定义，由上图，我们可以得到。
当cur是parent的左节点时，parent的平衡因子减1，
当cur是parent的右节点时，parent的平衡因子加1。
- 检测更新完结点的平衡因子
更新完的平衡因子会有一下三种情况。
- 更新完后，结点(parent结点)的平衡因子等于0。说明结点(parent结点)的高度没有变化，并不会对上面结点的平衡因子产生影响。不需要继续往上更新。
- 更新完后，结点(parent结点)的平衡因子等于1或者-1。说明当前结点(parent结点)高度加1了，但是还没有超过平衡的界限，会对上面的结点产生影响。继续往上更新。
- 更新完后，结点(parent结点)的平衡因子等于2或者-2。超过了平衡的界限，需要进行旋转处理。
由于旋转后平衡因子会在界限范围内，所以只有上面三种情况。
2.2.3 旋转
旋转要注意两点，一点是旋转完后仍然是搜索树，二是每个结点都需要平衡。
平衡二叉树的旋转有四种情况：
- 右单旋
在什么情况下使用右单旋？
看平衡破坏结点到插入方向的连续3个结点，如果是一条直线用单旋，如果更新到parent结点的平衡因子等于-2，且cur的平衡因子等于-1时，需要用右单旋。
怎样实现右单旋？
情况是这样的：所有右单旋情况都适用
根据上图，我们知道，右单旋是将结点5的左指针指向结点3的右子树，结点3的右指针指向结点5。
为什么将结点5的左指针指向结点3的右子树？
为了保持树是搜索树，结点3的右结点值大于3，小于5，右单旋后，需要结点3的右指针指向结点5，所以需要将结点5的左指针指向结点3的右子树。
但是不仅仅是这么简单，还需要更新父节点和平衡因子。我们发现此时受影响结点的平衡因子都是0。
在旋转过程中还需要几种情况需要考虑：
- 结点3的右子树可能是空树，也可能不是空树
- 结点5可能是根节点。也可能上面还有父节点，是一颗子树。如果是根节点，要更新根节点。如果是子树，可能是某个节点的左子树或者右子树。
void SigelRight(Node *parent){
//先将所有要用到的结点记录
Node *SubL = parent->_left;
Node *SubLR = SubL->_right;
Node *Pparent = parent->_parent;
//更新SubLR结点
parent->_left = SubLR;
//注意可能为空的情况
if (SubLR){
SubLR->_parent = parent;
}
//更新parent
SubL->_right = parent;
parent->_parent = SubL;
if (Pparent == nullptr)//根节点，不是子树
{
SubL->_parent = nullptr;
//更新根节点
_root = SubL;
}
else//子树
{
//判断插入左边还是右边
if (Pparent->_kv.first > SubL->_kv.first){
Pparent->_left = SubL;
}
else{
Pparent->_right = SubL;
}
SubL->_parent = Pparent;
}
//更新平衡因子
SubL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}- 左单旋
在什么情况下使用左单旋？
看平衡破坏结点到插入方向的连续3个结点，如果是一条直线用单旋。如果更新到parent结点的平衡因子等于2，且cur的平衡因子等于1时，需要用左单旋。
怎么实现左单旋？
左单旋的实现和右单旋转的实现异曲同工，只是方向不同。
情况如下：一般化(适用所有情况)
根据上图，我们知道，左单旋是将结点5的右指针指向结点6的左子树，结点6的左指针指向结点5。
为什么结点5的右指针指向结点6的左子树？
因为平衡二叉树仍然是一颗搜索树，结点6的左结点值小于6，大于5，左单旋后，需要结点6的左指针指向结点5，所以需要将结点5的右指针指向结点6的左子树。
注意更新父指针和平衡因子。我们发现此时受影响结点的平衡因子都是0。
在旋转过程中还需要几种情况需要考虑：
- 结点6的左子树可能是空树，也可能不是空树
- 结点5可能是根节点。也可能上面还有父节点，是一颗子树。如果是根节点，要更新根节点。如果是子树，可能是某个节点的左子树或者右子树。
void SigelLeft(Node *parent){
//保持所有用到的结点
Node *SubR = parent->_right;
Node *SubRL = SubR->_left;
//用来判断当前子树是否是子树
Node *Pparent = parent->_parent;
//注意要更新父节点
parent->_right = SubRL;
//
if (SubRL){
SubRL->_parent = parent;
}
SubR->_left = parent;
parent->_parent = SubR;
//更新新根节点SubR的父节点
if (Pparent == nullptr){//当前结点为根节点
//直接置空
SubR->_parent = nullptr;
//注意要更新根节点
_root = SubR;
}
else{//当前树为子树
//连接到上面结点
if (Pparent->_kv.first < SubR->_kv.first){
Pparent->_right = SubR;
}
else{
Pparent->_left = SubR;
}
//更新父节点
SubR->_parent = Pparent;
}
//更新平衡因子
SubR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}- 右左双旋
什么情况下用右左双旋？
看平衡破坏结点到插入方向的连续3个结点，如果是一条折线用双旋。更新完后当前结点(parent结点)的平衡因子等于2，右节点(cur结点)等于-1时，用右左双旋。
怎么实现右左双旋？
这时有两种情况会导致平衡因子的更新不同
情况1：
在SubRL左子树插入结点
通过上图，先将parent的右结点SubrR先右单旋，再将parent结点左单旋，即可得到平衡的二叉树。
此时子树b，成为了parent的右子树，子树c成为了SubR的左子树，parent的平衡因子等于0 ，SubR的平衡因子等于1。
情况二：
在SubRL右子树插入结点
通过上图，先将parent的右结点SubR先右单旋，再将parent结点左单旋，即可得到平衡的二叉树。
此时子树b，成为了parent的右子树，子树c成为了SubR的左子树，parent的平衡因子等于-1 ，SubR的平衡因子等于0。
总结：
右左双旋：先将parent的右子树右单旋，再将parent所在子树左单旋。
当插入结点在SubRL的左子树时SubRL平衡因子为-1时：parent的平衡因子等于0 ，SubR的平衡因子等于1。
当插入结点在SubRL的右子树SubRL平衡因子为1时：parent的平衡因子等于-1 ，SubR的平衡因子等于0。
void DoubleRightLeft(Node *parent){
Node *SubR = parent->_right;
Node *SubRL = SubR->_left;
//为了后面更新平衡因子，看插入左边还是右边
int bf = SubRL->_bf;
SigelRight(SubR);
SigelLeft(parent);
//画图理解,更新平衡因子
if (bf == 1){//插入方向在右边
SubR->_bf = 0;
SubRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1){//插入方向在左边
SubRL ->_bf= 0;
parent->_bf = 0;
SubR->_bf = 1;
}
else if (bf == 0){//SubRL就是插入结点
SubR->_bf = 0;
SubRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
}- 左右双旋
什么情况下用左右双旋？
看平衡破坏结点到插入方向的连续3个结点，如果是一条折线用双旋。更新完后当前结点(parent结点)的平衡因子等于-2，右节点(cur结点)等于1时，用左右双旋。
怎么实现左右双旋？
这时有两种情况会导致平衡因子的更新不同
情况1：
通过上图，先将parent的左结点SubL先左单旋，再将parent结点右单旋，即可得到平衡的二叉树。
此时子树b，成为了SubL的右子树，子树c成为了parent的左子树，parent的平衡因子等于1 ，SubL的平衡因子等于0。
情况二：
通过上图，先将parent的左结点SubL先左单旋，再将parent结点右单旋，即可得到平衡的二叉树。
此时子树b，成为了SubL的右子树，子树c成为了parent的左子树，parent的平衡因子等于0 ，SubL的平衡因子等于-1。
总结：
左右单旋：先将parent的左结点所在子树左单旋，在将parent所在子树右单旋。
当插入结点在SubLR的左子树时SubLR平衡因子为-1时：parent的平衡因子等于1，SubL的平衡因子等于0。
当插入结点在SubLR的右子树SubLR平衡因子为1时：parent的平衡因子等于0 ，SubR的平衡因子等于-1。
void DoubleLeftRight(Node *parent){
Node *SubL = parent->_left;
Node *SubLR = SubL->_right;
int bf = SubLR->_bf;
SigelLeft(SubL);
SigelRight(parent);
if (bf == 1){
SubL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
SubLR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1){
parent->_bf = 1;
SubL->_bf = 0;
SubLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0){
parent->_bf = 0;
SubL->_bf = 0;
SubLR->_bf = 0;
}
}2.3 平衡二叉树的验证
- 每个结点的高度差(右子树高度-左子树高度)绝对值不超过1。
- 平衡因子等于高度差值。
int _Height(Node *root){
if (root == nullptr){
return 0;
}
int left = _Height(root->_left);
int right = _Height(root->_right);
return left > right ? left + 1 : right + 1;
}
bool _IsBalanceTree(Node *pRoot)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == pRoot)
return true;
// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(pRoot->_left);
int rightHeight = _Height(pRoot->_right);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
return false;
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
return _IsBalanceTree(pRoot->_left) && _IsBalanceTree(pRoot->_right);
}2.4 总代码
#pragma once
#include
using namespace std;
//二叉树应用KV模型
template
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const pair kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
,_bf(0)
, _kv(kv)
{}
AVLTreeNode *_left;//该节点的左孩子
AVLTreeNode *_right;//该节点的右孩子
AVLTreeNode *_parent;//该节点的父亲
//平衡因子
int _bf;
//保存的是键值对，pair结构体
pair _kv;
};
template
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode Node;
public:
bool insert(const pair kv)
{
if (_root == nullptr){
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node *cur = _root;
Node *parent = nullptr;
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first){
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first){
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else{
return false;
}
}
//找到插入位置，现在进行插入
cur = new Node(kv);
//要更新父节点
cur->_parent = parent;
if (parent->_kv.first < kv.first){
parent->_right = cur;
}
else{
parent->_left = cur;
}
//更新平衡因子
while (parent){
//如果插入左边平衡因子--
if (parent->_left == cur){
parent->_bf--;
}
//如果插入右边，平衡因子++
else{
parent->_bf++;
}
//判断平衡因子
if (parent->_bf == 0){//如果parent位置平衡因子等于0，不再往上更新，高度没变
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//高度变了，但是没有不平衡，继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//不平衡需要旋转
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){
SigelLeft(parent);//左单旋
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){
DoubleRightLeft(parent);//右左双旋
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){
DoubleLeftRight(parent);//左右双旋
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){
SigelRight(parent);//右单旋
}
break;//旋转完不需要更新平衡因子了。
}
else{
}
}
return true;
}
void SigelLeft(Node *parent){
//保持所有用到的结点
Node *SubR = parent->_right;
Node *SubRL = SubR->_left;
//用来判断当前子树是否是子树
Node *Pparent = parent->_parent;
//注意要更新父节点
parent->_right = SubRL;
//
if (SubRL){
SubRL->_parent = parent;
}
SubR->_left = parent;
parent->_parent = SubR;
//更新新根节点SubR的父节点
if (Pparent == nullptr){//当前结点为根节点
//直接置空
SubR->_parent = nullptr;
//注意要更新根节点
_root = SubR;
}
else{//当前树为子树
//连接到上面结点
if (Pparent->_kv.first < SubR->_kv.first){
Pparent->_right = SubR;
}
else{
Pparent->_left = SubR;
}
//更新父节点
SubR->_parent = Pparent;
}
//更新平衡因子
SubR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
void SigelRight(Node *parent){
Node *SubL = parent->_left;
Node *SubLR = SubL->_right;
Node *Pparent = parent->_parent;
parent->_left = SubLR;
if (SubLR){
SubLR->_parent = parent;
}
SubL->_right = parent;
parent->_parent = SubL;
if (Pparent == nullptr)//根节点
{
SubL->_parent = nullptr;
_root = SubL;
}
else//子树
{
if (Pparent->_kv.first > SubL->_kv.first){
Pparent->_left = SubL;
}
else{
Pparent->_right = SubL;
}
SubL->_parent = Pparent;
}
SubL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
void DoubleRightLeft(Node *parent){
Node *SubR = parent->_right;
Node *SubRL = SubR->_left;
//为了后面更新平衡因子，看插入左边还是右边
int bf = SubRL->_bf;
SigelRight(SubR);
SigelLeft(parent);
//画图理解,更新平衡因子
if (bf == 1){//插入方向在右边
SubR->_bf = 0;
SubRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1){//插入方向在左边
SubRL ->_bf= 0;
parent->_bf = 0;
SubR->_bf = 1;
}
else if (bf == 0){//SubRL就是插入结点
SubR->_bf = 0;
SubRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
}
void DoubleLeftRight(Node *parent){
Node *SubL = parent->_left;
Node *SubLR = SubL->_right;
int bf = SubLR->_bf;
SigelLeft(SubL);
SigelRight(parent);
if (bf == 1){
SubL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
SubLR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1){
parent->_bf = 1;
SubL->_bf = 0;
SubLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0){
parent->_bf = 0;
SubL->_bf = 0;
SubLR->_bf = 0;
}
}
int _Height(Node *root){
if (root == nullptr){
return 0;
}
int left = _Height(root->_left);
int right = _Height(root->_right);
return left > right ? left + 1 : right + 1;
}
//int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(Node *pRoot)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == pRoot) return true;
// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(pRoot->_left);
int rightHeight = _Height(pRoot->_right);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
return false;
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
return _IsBalanceTree(pRoot->_left) && _IsBalanceTree(pRoot->_right);
}
bool Isbalance(){
return _IsBalanceTree(_root);
}
private:
Node *_root = nullptr;
}; 2.5 平衡二叉树的删除
平衡二叉树的删除，和插入如出一辙。
首先平衡二叉树也是二叉搜索树，也是先按照二叉搜索树的方式进行删除，然后更新平衡因子，判断平衡因子是否符合条件。
- 按照二叉搜索树的方式进行删除
- 更新平衡因子，判断平衡因子。如果符合条件，在判断是否继续往上更新，如果不符合，旋转处理。
和插入不同的是，更新平衡因子时，
parent->_left==cur时，parent->_bf++
parent->_right==cur时，parent->_bf--
后面会附上代码：