通过一个例子搞懂海明码校验纠错原理

问题

编码前有效信息为10011101，请求解对应的海明码

位数

如何海明码（校验码）的位数？参考如下公式：

2^k >= N+k+1

其中N为有效信息位数，k为校验码位数。

如上述问题，有效信息有8位，所以N = 8 代入上述公式，满足条件成立的最小值 k = 4，所以海明码（校验码）的位数为4

位置

海明码一共有4位，那它们的具体位置在哪里呢？位置公式如下：

2^n(2^0,2^1,2^2...)

有效信息（8位）+ 校验码（4位） = 12位，我们通过表格来定位校验码位置，如下表所示，P代表校验位，D代表信息位：

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4	P4	D5	D6	D7	D8
校验位	2^0	2^1		2^2				2^3

求值

求值公式（以偶校验求值）：

1. Pn的值，受验证位中所有1的个数的影响，当1为偶数个时Pn = 0，当1为奇数个时 Pn = 1。
2. 验证位 = Pn所在的位数起，校验n位，然后跳过n位，以此规则循环到末尾。（例如所在位数在第5位，则校验5位，然后跳过5位）

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4	P4	D5	D6	D7	D8
校验位	？	？	1	？	0	0	1	？	1	1	0	1
P1验证位	√		√		√		√		√		√

P1验证位目前有3个1，为保证偶校验，所以P1 = 1。

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4	P4	D5	D6	D7	D8
校验位	1	？	1	？	0	0	1	？	1	1	0	1
P1验证位	√		√		√		√		√		√
P2验证位		√	√			√	√			√	√

P2验证位目前有3个1，为保证偶校验，所以P2 = 1。

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4	P4	D5	D6	D7	D8
校验位	1	1	1	？	0	0	1	？	1	1	0	1
P1验证位	√		√		√		√		√		√
P2验证位		√	√			√	√			√	√
P3验证位				√	√	√	√					√

P3验证位目前有2个1，为保证偶校验，所以P3 = 0。

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4	P4	D5	D6	D7	D8
校验位	1	1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	1
P1验证位	√		√		√		√		√		√
P2验证位		√	√			√	√			√	√
P3验证位				√	√	√	√					√
P4验证位								√	√	√	√	√

P4验证位目前有3个1，为保证偶校验，所以P4 = 1。

至此所有编码工作结束：111000111101