SkipList(跳跃表)详解

Introduction:

skiplist本质上也是一种查找结构,用于解决算法中的查找问题(Searching),即根据给定的key,快速查到它所在的位置(或者对应的value)

一般用于解决查找问题的数据结构分为两个大类:一个是基于各种平衡树,一个是基于哈希表。但skiplist却比较特殊,它没法归属到这两大类里面

这种数据结构是由William Pugh发明的,最早出现于他在1990年发表的论文《Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees》对细节感兴趣的同学可以下载论文原文来阅读


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Background:

skiplist本质上是一个list, 它其实是由有序链表发展而来
我们先来看一个有序链表,如下图(最左侧的灰色节点表示一个空的头结点):
在这里插入图片描述

在这样一个链表中,如果我们要查找某个数据,那么需要从头开始逐个进行比较,直到找到包含数据的那个节点,或者找到第一个比给定数据大的节点为止(没找到)。也就是说,时间复杂度为O(n)。同样,当我们要插入新数据的时候,也要经历同样的查找过程,从而确定插入位置

假如我们每相邻两个节点增加一个指针,让指针指向下下个节点,如下图:
在这里插入图片描述

这样所有新增加的指针连成了一个新的链表,但它包含的节点个数只有原来的一半(上图中是7, 19, 26)。现在当我们想查找数据的时候,可以先沿着这个新链表进行查找。当碰到比待查数据大的节点时,再回到原来的链表中进行查找。比如,我们想查找23,查找的路径是沿着下图中标红的指针所指向的方向进行的:
SkipList(跳跃表)详解_第1张图片

  • 23首先和7比较,再和19比较,比它们都大,继续向后比较但23和26比较的时候,比26要小,因此回到下面的链表(原链表),与22比较
  • 23比22要大,沿下面的指针继续向后和26比较
  • 23比26小,说明待查数据23在原链表中不存在,而且它的插入位置应该在22和26之间

在这个查找过程中,由于新增加的指针,我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了。需要比较的节点数大概只有原来的一半。
利用同样的方式,我们可以在上层新产生的链表上,继续为每相邻的两个节点增加一个指针,从而产生第三层链表。如下图:
SkipList(跳跃表)详解_第2张图片

在这个新的三层链表结构上,如果我们还是查找23,那么沿着最上层链表首先要比较的是19,发现23比19大,接下来我们就知道只需要到19的后面去继续查找,从而一下子跳过了19前面的所有节点。可以想象,当链表足够长的时候,这种多层链表的查找方式能让我们跳过很多下层节点,大大加快查找的速度

skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上,按照上面生成链表的方式,上面每一层链表的节点个数,是下面一层的节点个数的一半,这样查找过程就非常类似于一个二分查找,使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。但是,这种方法在插入数据的时候有很大的问题。新插入一个节点之后,就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系,就必须把新插入的节点后面的所有节点(也包括新插入的节点)重新进行调整,这会让时间复杂度重新退化成O(n)。删除数据也有同样的问题


Solution:

skiplist为了避免这一问题,它不要求上下相邻两层链表之间的节点个数有严格的对应关系,而是为每个节点随机出一个层数(level)。比如,一个节点随机出的层数是3,那么就把它链入到第1层到第3层这三层链表中。为了表达清楚,下图展示了如何通过一步步的插入操作从而形成一个skiplist的过程(点击看大图):
SkipList(跳跃表)详解_第3张图片

从上面skiplist的创建和插入过程可以看出,每一个节点的层数(level)是随机出来的,而且新插入一个节点不会影响其它节点的层数。因此,插入操作只需要修改插入节点前后的指针,而不需要对很多节点都进行调整。这就降低了插入操作的复杂度。实际上,这是skiplist的一个很重要的特性,这让它在插入性能上明显优于平衡树的方案。这在后面我们还会提到。

根据上图中的skiplist结构,我们很容易理解这种数据结构的名字的由来。skiplist,翻译成中文,可以翻译成“跳表”或“跳跃表”,指的就是除了最下面第1层链表之外,它会产生若干层稀疏的链表,这些链表里面的指针故意跳过了一些节点(而且越高层的链表跳过的节点越多)。这就使得我们在查找数据的时候能够先在高层的链表中进行查找,然后逐层降低,最终降到第1层链表来精确地确定数据位置。在这个过程中,我们跳过了一些节点,从而也就加快了查找速度

刚刚创建的这个skiplist总共包含4层链表,现在假设我们在它里面依然查找23,下图给出了查找路径:
SkipList(跳跃表)详解_第4张图片

需要注意的是,前面演示的各个节点的插入过程,实际上在插入之前也要先经历一个类似的查找过程,在确定插入位置后,再完成插入操作

至此,skiplist的查找和插入操作,我们已经很清楚了。而删除操作与插入操作类似,我们也很容易想象出来。这些操作我们也应该能很容易地用代码实现出来

当然,实际应用中的skiplist每个节点应该包含key和value两部分。前面的描述中我们没有具体区分key和value,但实际上列表中是按照key进行排序的,查找过程也是根据key在比较

但是,如果你是第一次接触skiplist,那么一定会产生一个疑问:节点插入时随机出一个层数,**仅仅依靠这样一个简单的随机数操作而构建出来的多层链表结构,能保证它有一个良好的查找性能吗?**为了回答这个疑问,我们需要分析skiplist的统计性能

在分析之前,我们还需要着重指出的是,执行插入操作时计算随机数的过程,是一个很关键的过程,它对skiplist的统计特性有着很重要的影响。这并不是一个普通的服从均匀分布的随机数,它的计算过程如下:

  • 首先,每个节点肯定都有第1层指针(每个节点都在第1层链表里)
  • 如果一个节点有第i层(i>=1)指针(即节点已经在第1层到第i层链表中),那么它有第(i+1)层指针的概率为p
  • 节点最大的层数不允许超过一个最大值,记为MaxLevel
    这个计算随机层数的伪码如下所示:
randomLevel()
    level := 1
    // random()返回一个[0...1)的随机数
    while random() < p and level < MaxLevel do
        level := level + 1
    return level

randomLevel()的伪码中包含两个参数,一个是p,一个是MaxLevel。在Redis的skiplist实现中,这两个参数的取值为:

p = 1/4 
MaxLevel = 32

Complexity Analysis:

在这一部分,我们来简单分析一下skiplist的时间复杂度和空间复杂度,以便对于skiplist的性能有一个直观的了解。如果你不是特别偏执于算法的性能分析,那么可以暂时跳过这一小节的内容

我们先来计算一下每个节点所包含的平均指针数目(概率期望)。节点包含的指针数目,相当于这个算法在空间上的额外开销(overhead),可以用来度量空间复杂度

根据前面randomLevel()的伪码,我们很容易看出,产生越高的节点层数,概率越低。定量的分析如下:

  • 节点层数至少为1。而大于1的节点层数,满足一个概率分布
  • 节点层数恰好等于1的概率为1-p
  • 节点层数大于等于2的概率为p,而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)
  • 节点层数大于等于3的概率为p2,而节点层数恰好等于3的概率为p2(1-p)
  • 节点层数大于等于4的概率为p3,而节点层数恰好等于4的概率为p3(1-p)

因此,一个节点的平均层数(也即包含的平均指针数目),计算如下:
SkipList(跳跃表)详解_第5张图片

对上式中的累加公式积分, 可得:
SkipList(跳跃表)详解_第6张图片

再对积分结果求导, 可得:
在这里插入图片描述

现在很容易计算出:

  • 当p=1/2时,每个节点所包含的平均指针数目为2;
  • 当p=1/4时,每个节点所包含的平均指针数目为1.33。这也是Redis里的skiplist实现在空间上的开销。

接下来,为了分析时间复杂度,我们计算一下skiplist的平均查找长度。查找长度指的是查找路径上跨越的跳数,而查找过程中的比较次数就等于查找长度加1。以前面图中标出的查找23的查找路径为例,从左上角的头结点开始,一直到结点22,查找长度为6

为了计算查找长度,这里我们需要利用一点小技巧。我们注意到,每个节点插入的时候,它的层数是由随机函数randomLevel()计算出来的,而且随机的计算不依赖于其它节点,每次插入过程都是完全独立的。所以,从统计上来说,一个skiplist结构的形成与节点的插入顺序无关

这样的话,为了计算查找长度,我们可以将查找过程倒过来看,从右下方第1层上最后到达的那个节点开始,沿着查找路径向左向上回溯,类似于爬楼梯的过程。我们假设当回溯到某个节点的时候,它才被插入,这虽然相当于改变了节点的插入顺序,但从统计上不影响整个skiplist的形成结构

现在假设我们从一个层数为i的节点x出发,需要向左向上攀爬k层。这时我们有两种可能:

  • 如果节点x有第(i+1)层指针,那么我们需要向上走。这种情况概率为p
  • 如果节点x没有第(i+1)层指针,那么我们需要向左走。这种情况概率为(1-p)

这两种情形如下图所示:
SkipList(跳跃表)详解_第7张图片

用C(k)表示向上攀爬k个层级所需要走过的平均查找路径长度(概率期望),那么:

C(0)=0C(k)=(1-p)×(上图中情况b的查找长度) + p×(上图中情况c的查找长度)

代入,得到一个差分方程并化简:

C(k)=(1-p)(C(k)+1) + p(C(k-1)+1) C(k)=1/p+C(k-1) C(k)=k/p

这个结果的意思是,我们每爬升1个层级,需要在查找路径上走1/p步。而我们总共需要攀爬的层级数等于整个skiplist的总层数-1。
那么接下来我们需要分析一下当skiplist中有n个节点的时候,它的总层数的概率均值是多少。这个问题直观上比较好理解。根据节点的层数随机算法,容易得出:

  • 第1层链表固定有n个节点;
  • 第2层链表平均有n*p个节点;
  • 第3层链表平均有n*p2个节点;

所以,从第1层到最高层,各层链表的平均节点数是一个指数递减的等比数列。容易推算出,总层数的均值为log1/pn,而最高层的平均节点数为1/p。

综上,粗略来计算的话,平均查找长度约等于:

  • C(log1/pn-1)=(log1/pn-1)/p

即,平均时间复杂度为O(log n)

当然,这里的时间复杂度分析还是比较粗略的。比如,沿着查找路径向左向上回溯的时候,可能先到达左侧头结点,然后沿头结点一路向上;还可能先到达最高层的节点,然后沿着最高层链表一路向左。但这些细节不影响平均时间复杂度的最后结果。另外,这里给出的时间复杂度只是一个概率平均值,但实际上计算一个精细的概率分布也是有可能的。详情还请参见William Pugh的论文《Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees》


Comparing with BTree and HashTable:
  • skiplist和各种平衡树(如AVL、红黑树等)的元素是有序排列的,而哈希表不是有序的。因此,在哈希表上只能做单个key的查找,不适宜做范围查找。 所谓范围查找,指的是查找那些大小在指定的两个值之间的所有节点
  • 在做范围查找的时候,平衡树比skiplist操作要复杂。在平衡树上,我们找到指定范围的小值之后,还需要以中序遍历的顺序继续寻找其它不超过大值的节点。如果不对平衡树进行一定的改造,这里的中序遍历并不容易实现。而在skiplist上进行范围查找就非常简单,只需要在找到小值之后,对第1层链表进行若干步的遍历就可以实现
  • 平衡树的插入和删除操作可能引发子树的调整,逻辑复杂,而skiplist的插入和删除只需要修改相邻节点的指针,操作简单又快速
  • 从内存占用上来说,skiplist比平衡树更灵活一些。一般来说,平衡树每个节点包含2个指针(分别指向左右子树),而skiplist每个节点包含的指针数目平均为1/(1-p),具体取决于参数p的大小。如果像Redis里的实现一样,取p=1/4,那么平均每个节点包含1.33个指针,比平衡树更有优势
  • 查找单个key,skiplist和平衡树的时间复杂度都为O(log n),大体相当;而哈希表在保持较低的哈希值冲突概率的前提下,查找时间复杂度接近O(1),性能更高一些。所以我们平常使用的各种Map或dictionary结构,大都是基于哈希表实现的
  • 从算法实现难度上来比较,skiplist比平衡树要简单得多
Quote:

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