【数据结构】数组和字符串（九）：稀疏矩阵的链接存储：十字链表的插入、查找、删除操作
文章目录
- 4.2.1 矩阵的数组表示
- 4.2.2 特殊矩阵的压缩存储
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- a. 对角矩阵的压缩存储
- b~c. 三角、对称矩阵的压缩存储
- d. 稀疏矩阵的压缩存储——三元组表
- 4.2.3三元组表的转置、加法、乘法、操作
- 4.2.4十字链表
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- 0. 十字链表的创建、遍历打印、销毁
- 1. 插入
- 2. 查找
- 3. 删除
- 4. 主函数
- 5. 代码整合
4.2.1 矩阵的数组表示
【数据结构】数组和字符串（一）：矩阵的数组表示
4.2.2 特殊矩阵的压缩存储
矩阵是以按行优先次序将所有矩阵元素存放在一个一维数组中。但是对于特殊矩阵，如对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵和稀疏矩阵等, 如果用这种方式存储，会出现大量存储空间存放重复信息或零元素的情况，这样会造成很大的空间浪费。为节约存储空间和算法（程序）运行时间，通常会采用压缩存储的方法。
- 对角矩阵：指除了主对角线以外的元素都为零的矩阵，即对 任意 i ≠ j (1≤ i , j ≤n)，都有M(i, j)=0。由于只有主对角线上有非零元素，只需存储主对角线上的元素即可。
- 三角矩阵：指上三角或下三角的元素都为零的矩阵。同样地，只需存储其中一部分非零元素，可以节省存储空间。
- 对称矩阵：指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵。由于对称矩阵的非零元素有一定的规律，可以只存储其中一部分元素，从而减少存储空间。
- 稀疏矩阵：指大部分元素为零的矩阵。传统的按行优先次序存储方法会浪费大量空间来存储零元素，因此采用压缩存储的方法更为合适。常见的压缩存储方法有：压缩稠密行（CSR）、压缩稠密列（CSC）、坐标列表（COO）等。
a. 对角矩阵的压缩存储
【数据结构】数组和字符串（二）：特殊矩阵的压缩存储：对角矩阵——一维数组
b~c. 三角、对称矩阵的压缩存储
【数据结构】数组和字符串（三）：特殊矩阵的压缩存储：三角矩阵、对称矩阵——一维数组
d. 稀疏矩阵的压缩存储——三元组表
对于稀疏矩阵的压缩存储，由于非零元素的个数远小于零元素的个数，并且非零元素的分布没有规律，无法简单地利用一维数组和映射公式来实现压缩存储。针对稀疏矩阵，通常采用特定的数据结构来进行压缩存储，以减少存储空间的占用。
一种常见的稀疏矩阵压缩存储方法是使用"三元组"表示法，也称为COO（Coordinate）格式，只存储非零元素的值以及它们的行列坐标。通过使用三元组（Triplet）来表示非零元素的位置和值，每个三元组包含三个信息：非零元素的行索引、非零元素的列索引以及非零元素的值。
【数据结构】数组和字符串（四）：特殊矩阵的压缩存储：稀疏矩阵——三元组表
4.2.3三元组表的转置、加法、乘法、操作
【数据结构】数组和字符串（七）：特殊矩阵的压缩存储：三元组表的转置、加法、乘法操作
4.2.4十字链表
在稀疏矩阵的十字链表中，每个非零元素都由一个节点表示。节点包含了几个字段：
LEFT：指向该节点在同一行中的左邻非零元素的地址信息。UP：指向该节点在同一列中的上邻非零元素的地址信息。ROW：存储该节点在矩阵中的行号。COL：存储该节点在矩阵中的列号。VAL：存储该节点的元素值。
每一行都有一个表头节点，它引导着该行的循环链表，循环链表中的每个节点按照列号的顺序排列。同样，每一列也有一个表头节点，它引导着该列的循环链表，循环链表中的每个节点按照行号的顺序排列。
关于循环链表： 【数据结构】线性表（三）循环链表的各种操作（创建、插入、查找、删除、修改、遍历打印、释放内存空间）
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在稀疏矩阵的十字链表中，每一行和每一列都有一个表头节点。
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对于行表头节点
BASEROW[i]，其中i表示行号，范围从 1 到m（矩阵的行数）。如果该行为空（即没有非零元素），则COL(Loc(BASEROW[i]))的值为 -1。否则，COL(Loc(BASEROW[i]))的值为该行中最右边的非零元素的列号。 -
对于列表头节点
BASECOL[j]，其中j表示列号，范围从 1 到n（矩阵的列数）。如果该列为空（即没有非零元素），则ROW(Loc(BASECOL[j]))的值为 -1。否则，ROW(Loc(BASECOL[j]))的值为该列中最下边的非零元素的行号。
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由于行和列都是循环链表，行表头节点
BASEROW[i]中的LEFT指针循环地链接到该行最右边的非零元素，列表头节点BASECOL[j]中的UP指针循环地链接到该列最下边的非零元素。
通过这种方式，可以用较少的空间表示稀疏矩阵，并且可以快速地进行行和列的遍历操作。每个节点的LEFT和UP指针可以用来定位其左邻和上邻非零元素，从而实现矩阵的访问和操作。
0. 十字链表的创建、遍历打印、销毁
【数据结构】数组和字符串（八）：稀疏矩阵的链接存储：十字链表的创建、遍历打印（按行、按列、打印矩阵）、销毁
1. 插入
void insertElement(SparseMatrix* matrix, int row, int col, int value) {
if (row <= 0 || row > matrix->rows || col <= 0 || col > matrix->cols) {
printf("Invalid position!\n");
return;
}
// 创建新节点
MatrixNode* newNode = (MatrixNode*)malloc(sizeof(MatrixNode));
newNode->row = row;
newNode->col = col;
newNode->value = value;
newNode->right = NULL;
newNode->down = NULL;
// 插入到行链表
if (matrix->rowHeaders[row] == NULL || matrix->rowHeaders[row]->col > col) {
// 插入到行链表的头部
newNode->right = matrix->rowHeaders[row];
matrix->rowHeaders[row] = newNode;
} else {
MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[row];
while (current->right != NULL && current->right->col < col) {
current = current->right;
}
newNode->right = current->right;
current->right = newNode;
}
// 插入到列链表
if (matrix->colHeaders[col] == NULL || matrix->colHeaders[col]->row > row) {
// 插入到列链表的头部
newNode->down = matrix->colHeaders[col];
matrix->colHeaders[col] = newNode;
} else {
MatrixNode* current = matrix->colHeaders[col];
while (current->down != NULL && current->down->row < row) {
current = current->down;
}
newNode->down = current->down;
current->down = newNode;
}
}
- 检查行数和列数是否在有效范围内，如果不是，则打印错误消息并返回。
- 创建一个新的节点，并将行、列和值存储在节点的相应字段中。
- 在行链表中插入节点：
- 如果当前行的行链表为空，或者当前行的行链表头节点的列大于要插入的列：
- 将要插入的节点的右指针指向当前行的行链表头节点。
- 将当前行的行链表头节点更新为要插入的节点。
- 否则，遍历当前行的行链表，直到找到插入位置：
- 将要插入的节点的右指针指向当前节点的右指针。
- 将当前节点的右指针指向要插入的节点。
- 如果当前行的行链表为空，或者当前行的行链表头节点的列大于要插入的列：
- 在列链表中插入节点：
- 如果当前列的列链表为空，或者当前列的列链表头节点的行大于要插入的行：
- 将要插入的节点的下指针指向当前列的列链表头节点。
- 将当前列的列链表头节点更新为要插入的节点。
- 否则，遍历当前列的列链表，直到找到插入位置：
- 将要插入的节点的下指针指向当前节点的下指针。
- 将当前节点的下指针指向要插入的节点。
- 如果当前列的列链表为空，或者当前列的列链表头节点的行大于要插入的行：
2. 查找
MatrixNode* findElement(SparseMatrix* matrix, int row, int col) {
if (row <= 0 || row > matrix->rows || col <= 0 || col > matrix->cols) {
printf("Invalid position!\n");
return NULL;
}
MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[row];
while (current != NULL && current->col != col) {
current = current->right;
}
return current;
}
- 检查行数和列数是否在有效范围内，如果不是，则打印错误消息并返回NULL。
- 从第一行开始遍历稀疏矩阵的每一行：
- 通过行表头节点数组获取当前行的行链表头节点。
- 遍历当前行的行链表，直到找到要查找的节点或遍历完整个链表。
- 如果找到要查找的节点，则返回节点的指针；否则，返回NULL。
3. 删除
void deleteElement(SparseMatrix* matrix, int row, int col) {
if (row <= 0 || row > matrix->rows || col <= 0 || col > matrix->cols) {
printf("Invalid position!\n");
return;
}
// 在行链表中删除节点
MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[row];
MatrixNode* prev = NULL;
while (current != NULL && current->col != col) {
prev = current;
current = current->right;
}
if (current == NULL) {
printf("Element not found!\n");
return;
}
if (prev == NULL) {
matrix->rowHeaders[row] = current->right;
} else {
prev->right = current->right;
}
// 在列链表中删除节点
current = matrix->colHeaders[col];
prev = NULL;
while (current != NULL && current->row != row) {
prev = current;
current = current->down;
}
if (prev == NULL) {
matrix->colHeaders[col] = current->down;
} else {
prev->down = current->down;
}
// 释放节点内存
free(current);
}
- 检查行数和列数是否在有效范围内，如果不是，则打印错误消息并返回。
- 在行链表中查找要删除的节点：
- 从当前行的行链表头节点开始遍历行链表，直到找到要删除的节点或遍历完整个链表。
- 如果找到要删除的节点：
- 如果要删除的节点是行链表的头节点：
- 将当前行的行链表头节点更新为要删除的节点的右指针。
- 否则，遍历行链表，直到找到要删除的节点的前一个节点：
- 将前一个节点的右指针指向要删除的节点的右指针。
- 如果要删除的节点是行链表的头节点：
- 在列链表中查找要删除的节点：
- 从当前列的列链表头节点开始遍历列链表，直到找到要删除的节点或遍历完整个链表。
- 如果找到要删除的节点：
- 如果要删除的节点是列链表的头节点：
- 将当前列的列链表头节点更新为要删除的节点的下指针。
- 否则，遍历列链表，直到找到要删除的节点的前一个节点：
- 将前一个节点的下指针指向要删除的节点的下指针。
- 如果要删除的节点是列链表的头节点：
- 释放要删除的节点的内存。
4. 主函数
int main() {
// 创建一个3x3的稀疏矩阵
SparseMatrix* matrix = createSparseMatrix(6, 6);
// 插入元素
insertElement(matrix, 1, 3, 5);
insertElement(matrix, 1, 4, 2);
insertElement(matrix, 5, 2, 1);
insertElement(matrix, 5, 1, 8);
insertElement(matrix, 5, 5, 7);
// 打印稀疏矩阵
printf("Sparse Matrix:\n");
printSparseMatrix(matrix);
// 查找节点
MatrixNode* node = findElement(matrix, 1, 4);
if (node != NULL) {
printf("\nFound node: (%d, %d, %d)\n", node->row, node->col, node->value);
} else {
printf("\nNode not found!\n");
}
// 删除节点
deleteElement(matrix,5,5);
printf("Sparse Matrix after deletion:\n");
printSparseMatrix(matrix);
// 销毁稀疏矩阵
destroySparseMatrix(matrix);
return 0;
}
5. 代码整合
#include