考研高数知识点总结

一.极限

1.函数的四性：

单调性、周期性、奇偶性、有界性：

周期性、奇偶性各记住一个结论。

有界性判定：

• 1.定义法：-M<绝对值
• 2.函数性质：函数在闭区间上连续一定有界

闭区间连续===》开区间连续加左端点右极限和右端点左极限存在

• 3.局部有界性：在趋近某点极限存在，则在该点的去心领域内有界。
• 4.有界函数的四则运算（不包括除）结果有界。

2.极限性质

保号性：看语雀

使用范围：判断函数或极限的正负性

数列的极限为a当且仅当数列的子数列极限也为a。

3.求极限

判断类型，无论是什么都化成0*0和∞*∞型。

其中某次化简结果为f(x)/xⁿ ，这是典型的泰勒公式，展开到和分母同样的阶次即可求出结果。

4.无穷小定阶

5.间断点

第一类间断点：

• 可去间断点：无定义或极限与函数值不相等===》左右极限存在且相等
• 跳跃间断点：左右极限存在但不相等

第二类间断点：

• 左右极限至少有一个不存在

6.证明题

• 1.零点定理
• 2.介值定理
• 3.最值定理
• 4.有界定理

7.数列极限

• 放缩+夹逼准则
• 定积分定义
• 单调有界准则

数列极限无论什么方法都要用到放缩

二.一元函数微分

1.导数与微分的概念

${\lim }_{@x\to 0}\frac{f(x+@x)-f(x)}{@x}$

${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$

这两种导数的极限表达式一定要掌握

函数在某点连续：该点左右极限存在且相等

函数在某点可导：该店左右导数存在且相等（此处一般用极限式定义求导数）

2.导数与微分的计算

参数方程求导：

一阶导=$\frac{dy/dt}{dx/dt}$

二阶导=$\frac{d(一阶导)/dt}{dx/dt}$

隐函数求导：

方程两端同时对x求导

反函数求导：

一阶导：正向一阶导 的倒数

二阶导：-$\frac{正向2阶导}{一阶导的三次方}$

求高阶导：

1.求多项，数学归纳（找规律）

2.组合公式法，直接记忆：

所谓组合公式，就是你记住这五个常用，然后想办法变成这五种类型

3.泰勒级数展开：

根据常用的麦克劳林展开式列出泰勒级数（一项一项的写比较清楚，不要直接写求和式）；

根据n阶导看x的指数，消去n-1项，即为所求的导数。

参考：参考视频
4.间接法得到幂级数展开式，当作找到与xⁿ 对应的系数，自己体会一下求导过程，前面阶次小于n的求n阶导后全为0，只剩下xⁿ 的系数（n!)，一定要自己体会一下！

乘积求导：（一般x₀ 是某个函数的零点）

1.乘法法则：f(x)=t(x)*g(x)

这里取一个当x=x₀ 时，t(x)等于0的简化

2.导数的定义

这里指的是化为定义极限表达式求解更简单

3.莱布尼兹公式

复习记得看语雀。

3.导数的应用

1.法线===》切线（导数的几何应用）

2.曲率，曲率半径

k=$\frac{二阶导的绝对值}{(1+一阶导的平方)的3/2次方}$ R=$\frac{1}{k}$

3.物理应用

一般涉及复合函数求导

4.函数的单调性、极值、最值

驻点：一阶导=0加无定义（改变单调性）

拐点：二阶导=0加无定义（改变凹凸性）

一阶导=0 + 二阶导<0 ===》极大

一阶导=0 + 二阶导>0===》极小

找极值点，先找驻点与不可导点，然后判断；

找最值点，先找极值点和端点，然后比较判断。

5.曲线的凹凸性、拐点、渐近线

拐点

二阶导=0 + 三阶导>0 ===》左凸右凹

二阶导=0 + 三阶导<0 ===》左凹右凸

区间凹凸性：二阶导>=0===》区间凹；

​ 二阶导<=0===》区间凸。

渐近线的求法：

1.水平渐近线：左、右无穷极限

2.铅直渐近线：无定义，特殊处理，观察

3.斜渐近线：a=${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}$

​ b=${\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-ax)$

注意，求斜渐近线左右极限都要求

6.不等式的证明1

这一处的不等式主要是证明函数>=0的问题，或者两个函数比较什么的，反正就是最后要证明一个函数>0，

最主要用的就是单调性来判断符号，奇偶性缩减区间，就是利用函数的性质来证明。

7.方程根的存在性和个数

• 零点定理（一般函数不含导数）
• 罗尔定理（一般函数就包含导数）
• 拉格朗日中值定理
• 柯西中值定理

方程根的个数利用划分单调区间证明。

这里有时候会用到证明极限的存在：

极限存在的两个重要法则：1）夹逼定理；2）单调有界定理

罗尔定理：

• 1.找辅助函数
• 2.找相同的函数值（看存在几个根就找几组相同的函数值或者三个点处函数值相同）

补充一个点：

导函数的至少（至多）零点问题：

• 1.如果f(x)有k个零点，则一阶导函数至少有（k-1）个零点……（k-1)阶导函数至少有1个零点。
• 2.一阶导函数没有零点，所以原函数存在至多一个零点；同理，如果一阶导至多有一个零点，则原函数至多有两个零点，其他类推。

三.一元积分学

1.原函数的概念

• 有第一类间断点的函数不存在原函数（连续函数肯定存在，有间断点的判断是不是第一间断点）
• f(x)在[a,b]上可积的两个充分条件：
  1. f(x)在[a,b]上连续
  2. f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点

注意：可积不等价于存在原函数

2.定积分的性质

常见有比较积分的大小，通过奇偶性计算积分等

注意比较积分的大小非常重要，参考语雀笔记15

这里注意可以通过f(x)的正负判断积分的正负，但不能用F（x）判断导函数的正负。

3.不定积分的计算

分部积分：反对幂指三（保留顺序）

不定积分换元时，结果要替换回原来的代换。

分段函数求积分，分段求，不规则函数记得写成分段函数。

有理函数积分：

1）分子次数比分母高，化为多项式加真分式

2）分母能分解，分解因式、裂项

3）分母不能分解，分子凑分母的微分，或特殊函数

4.定积分的计算

对称区间的定积分计算，不想说。

定积分的几何意义，以及求数列的极限（不要忘了）。

计算有关周期函数定积分常用到的结论：

这里有很多陷阱，注意规避。

5.变限积分

在考研范围内，你所遇到的几乎所有变限积分都会用到变限积分公式。

变限积分的使用：

• 1.直接作为x的原函数，讨论相关问题
• 2.求极限（洛必达）
• 3.求极限（中值定理）（少，但一定要会）

所以重点还是求极限。

重要结论：

​ 若f(x)为[a,b]上的可积函数，F(x)=${\int }_a^{x}f(t)dt$ ，则F（x)连续且:

• 若f(x)连续，则F可导且F^` (x)=f(x)。

• 若f不连续，则：1.f有可去间断点，F可导但间断点处F的导数不等于f

  ​ 2.f有跳跃间断点，F在f的跳跃间断点不可导

6.反常积分

反常积分的计算通常包含瑕点（奇点）的问题，只要奇点在积分区间内，无论是端点还是中间，都要分段积分。

计算的都比较简单，主要是判断反常积分的审敛性。

通过积分计算判断反常积分的收敛是最基础的，下面才是提升。

无穷区间的反常积分的审敛：

1. 比较判别法：记住参照函数（P积分）

无界函数的反常积分的审敛：

1. 先找瑕点
2. 判断瑕点极限（P积分，与上面不同）

不记得 就复习高图或者世纪高教都行。

7.定积分的应用

• 1.平面图形面积
• 2.平面曲线弧长
• 3.旋转体体积
• 4.旋转曲面面积
• 5.在区间平行某截面的立体体积
• 6.物理应用
• 7.没有公式，自己根据理解写出积分

定积分的应用公式键手写笔记。

8.积分综合

这里以世纪高教的例题为例：

• 1.积分与微分方程结合，求f(x)

• 2.积分的意义与极限结合，求极限

• 3.关于积分的证明题（重点）

四.多元微分学

1.偏导数与全微分的概念

遇到这种概念题，一般是选择题，直接代特例

可微的定义：${\lim }_{x\to 0,y\to 0}\frac{f(x,y)-f(0,0)-Ax-By}{\sqrt{x^2+y^2}}$=0则可微

这里的A、B分别表示f(x,y)关于x、y的偏导数

这里经常是极限存在、连续、（偏）导数存在、可微，关系递进。前面不满足后面一定不满足，后面满足前面一定满足。

详细请看语雀。

2.偏导数与全微分的计算

隐函数求偏导，公式记清楚。

先对x求导再对y求偏导 与 先对y求偏导再对x求偏导 结果相等

3.方程变换问题

所谓的变换就是利用中间变量求偏导的问题

4.极值与最值

求f（x,y）分别对x和y的一阶偏导，求驻点

A=F关于x求二阶偏导，B=F关于x求偏导后再对y求偏导，C=F关于y求二阶偏导

AC-B² >0时才有极值，A>0极小，A<0极大。

AC-B² <0时，没有极值

AC-B² =0时，进一步讨论。

有时候他给的是一个方程不是具体函数，使用隐函数求导法则

5.条件极值问题

重点掌握：拉格朗日乘数法

条件极值多是应用题环境

五.二重积分

1.二重积分的概念与性质

二重积分的定义与几何意义；

这一部分常考的题是多个函数在同一区间上积分的大小，或者一个函数在不同区间的正负性。

性质：

• 1.比较定理
• 2.估值定理
• 3.中值定理

2.二重积分的计算

个人计算步骤总结：

• 1.画图，积分区域
• 2.判断极坐标适用性
• 3.考虑积分性质
• 4.想其他办法

• 被积函数是1，结果是积分区域D的面积；
• 被积函数是0，不用看区间了，结果就是0。

重点：函数的奇偶性是重点。

3.坐标系的选择

一般积分区域含有圆域，并且被积函数含有典型的x² + y² .

这里可能会用到华力士公式（以0为底）或者三角代换（不以0为底）

4.乱换对称性

质心计算公式：看语雀

轮换=两者相加/2；

奇函数（* | /）奇函数 = 偶函数；

奇函数 * | /）偶函数 = 奇函数；

口诀“同偶异奇”

5.交换积分次序

我们在一元积分的时候，求积分时的几何意义是面积，而且在x轴上方是正的，在其下方是负的。

但是在这里的二重积分，你画的积分区域，就没有这种意思，二重积分它是空间立体的体积，没有一重积分的说法。而且相较一元积分学，他往往会考虑函数与积分区间的性质。

6.区域分块

此时一般积分区域未知，或很难画出来

看这里重点复习世纪高教摆线区域的题。

7.二重积分的综合应用

抽象函数求二重积分。

六.常微分方程

1.一阶微分方程

• 1.可分离变量的微分方程
• 2.齐次方程
• 3.线性方程
• 4.全微分方程

2.可降阶的高阶微分方程

• 1.不显含y
• 2.不显含x

3.线性常系数微分方程

• 1.二阶常系数齐次微分方程（3种解，看表）
• 2.二阶常系数非齐次微分方程（两种，复习）

4.解的结构相关问题

掌握结构定理，这里是重点

5.微分方程的综合应用

• 1.与积分或微分结合，求函数（重点是反常积分的结合）
• 2.实际应用，自己根据题意写微分方程

七.无穷级数

1.常数项基数审收敛

级数的性质。

必要条件是无穷远处趋于0.

常用的审敛法则：

• 1.含有n!====》用比值法
• 2.含有aⁿ 或nⁿ ====》用根值法
• 3.抽象或等价无穷小好找====》比较判别法
• 4.都不行、极限审敛法
• 5.再不行，构造基准级数进行比较判别法

这里的证明题很重要。

2.幂级数的概念

• 幂级数概念
• 阿贝尔定理
• 收敛域
• 缺项幂级数的收敛半径

3.幂级数的和函数

章节重点

4.幂级数的展开式

章节重点

八.多元函数积分学

1.三重积分

前提：完全或基本掌握了二重积分的相关问题

这里注意，画图形区域的时候x² + y² =s 才是柱面，而x² + y² =z² 是个锥面。

2.第一类曲线积分

第一步永远是观察奇偶性和对称性

3.第二类曲线积分

第二类曲线积分与第一类曲线积分的转换

• 1.直接法
• 2.格林公式
• 3.补线用格林公式
• 4.线积分与路径无关
• 5.斯托克斯公式

4.第一类曲面积分

直接法，求在xoy面的投影域D，然后按公式计算。

5.第二类曲面积分

• 直接法，分三项二重积分计算，或者求偏导一次化为多个一重积分计算
• 高斯公式
• 不面用高斯公式

九.空间几何与场论初步

• 1.向量运算
• 2.平面与直线的关系
• 3.求空间曲面与空间曲线
• 4.方向导数
• 5.梯度、散度、旋度