随机变量的最大最小值独立性问题
作本篇的原因是下面这道题（出自2023李林6第二套）
解答：
而引发了对于随机变量的max和min值变量来说，二者是否独立的问题。推理如下：
考虑两个独立的随机变量 X , Y X, Y X,Y，变量 m , M m,M m,M为其最小最大值变量， m = m i n ( X , Y ) , M = m i n ( X , Y ) m=min(X,Y), M=min(X,Y) m=min(X,Y),M=min(X,Y).
若 m , M m, M m,M独立，则有
P ( m > a , M ≤ b ) = P ( m > a ) P ( M ≤ b ) P(m>a, M\le b)=P(m>a)P(M\le b) P(m>a,M≤b)=P(m>a)P(M≤b)
其中左边为
P ( a < x ≤ b , a < y ≤ b ) = P ( a < x ≤ b ) P ( a < y ≤ b ) P(a
右边为
P ( x > a , y > a ) P ( x ≤ b , y ≤ b ) = P ( x > a ) P ( y > a ) P ( x ≤ b ) P ( y ≤ b ) P(x>a,y>a)P(x\le b,y\le b)=P(x>a)P(y>a)P(x\le b)P(y\le b) P(x>a,y>a)P(x≤b,y≤b)=P(x>a)P(y>a)P(x≤b)P(y≤b)
若要使两边相等，则必须使
P ( a < x ≤ b ) = P ( x > a ) P ( x ≤ b ) P(a
这显然是不必然成立的。
实际上，当且仅当 P ( X > Y ) = 1 P(X>Y)=1 P(X>Y)=1或 P ( X < Y ) = 1 P(X