稀疏DOA估计的经典算法——l1-SVD算法

On-Grid类DOA估计经典算法——$l_1-\text{SVD}$

文献"A Sparse Signal Reconstruction Perspective for Source Localization With Sensor Arrays"提出了一种稀疏表示的DOA定位算法，它属于On-Grid类算法的范畴。其核心要点有二：其一是，通过了奇异值(SVD)分解，把以大量快拍数衡量的信号模型，转换成以信源数衡量的低维信号模型；其二是，以二阶锥规划法替代通用的非线性优化方法来处理问题，使得算法更加高效。

过完备字典模型

常用的参数标注：

$M$——均匀阵列的阵元数，$K$——信源数，$T$——时域快拍数，$N_{\theta }$——过完备字典的尺寸

一般的，远场DOA估计模型为：$$y(t)=\mathbf{A}(\theta )s(t)+n(t)$$其中，$\mathbf{A}(\theta )\in {\mathbb{C}}^{M\times K}$是阵列流形矩阵，$s(t)$和$n(t)$分别是$t$时刻的信号向量和噪声向量，它们彼此独立。

同时，从稀疏的角度看待这个接收信号，我们可以把它重新写作：
$$\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{N}$$这时，$$\mathbf{Y}\in {\mathbb{C}}^{M\times T}$$仍为信号接收矩阵；而$$\mathbf{A}\in {\mathbb{C}}^{M\times N_{\theta }}$$为过完备集的流形矩阵，过完备集可以视作：由空域划分出来方向网格(Grid)组成的集合，如过完备集为：$${\mathcal{S}}_{\theta }=\{-90^{\circ }:1^{\circ }:90^{\circ }\}$$其对应的集合尺寸为：$N_{\theta }=181$，对应的稀疏信号向量为：$\mathbf{x}\in {\mathbb{C}}^{N_{\theta }\times 1}$，当然，它的绝大多数的元素都为0，所以才”稀疏“。

因此，恢复出信号向量$\mathbf{x}$中不为0位置的索引，即代替了DOA估计的问题。

$l_1$范数最小化

因为有了噪声项的干扰，信号$x$出现了一些额外的非0项。因而，为了恢复这个信号向量，我们自然而然把最小化$l_0$范数作为目标函数，即使非0项数最小。
$$\min \Vert \mathbf{x}{\Vert }_0$$然而，$l_0$范数是非凸的，所以一般将其凸松弛为$l_1$范数来处理，即，向量元素绝对值的和。
$$\min \Vert \mathbf{x}{\Vert }_1$$另一方面，我们常用观测矩阵的"弗罗贝尼乌斯"范数(F)来衡量观测矩阵$\mathbf{Y}$和理想接收矩阵$\mathbf{A}\mathbf{x}$之间的差距，就是矩阵元素平方和再开根号：
$$\Vert \mathbf{Y}-\mathbf{A}\mathbf{x}{\Vert }_F^2\le {\beta }^2$$这里的参数${\beta }^2$指明了：我们能够允许的噪声参数的大小，一般可以从噪声功率处确定。

以上优化问题亦可以写成以下这种无约束的形式：
$$\min \Vert \mathbf{Y}-\mathbf{A}\mathbf{x}{\Vert }_F^2+\lambda \Vert \mathbf{x}{\Vert }_1$$这里的参数$\lambda$用于控制”空间谱的稀疏性“和”范数偏移尺度“的平衡，约$0.1-10$，它更像是一个经验值。

SVD降维

奇异值分解常常用于分析组成一个矩阵的主要成分，这很适合分析受噪声干扰的信号。将观测信号矩阵$\mathbf{Y}$进行奇异值分解：
$$\mathbf{Y}=\mathbf{U}\mathbf{L}{\mathbf{V}}^H$$其中，$\mathbf{U}\in {\mathbb{C}}^{M\times M}$和$\mathbf{V}\in {\mathbb{C}}^{T\times T}$都是酉矩阵，矩阵$\mathbf{L}\in {\mathbb{C}}^{M\times T}$是由一个$M\times M$的对角矩阵和$M\times (T-M)$的0矩阵构成，而对角矩阵中有$K$个大元素和$(M-K)$个小元素，它们之间存在数量级的差距。因此，很自然地，我们可以把这些主成分过滤出来。

定义一个选择矩阵${\mathbf{D}}_K\in {\mathbb{C}}^{T\times K}$，它由一个尺寸为$K$的单位矩阵和$(T-K)\times K$的0矩阵构成。
$${\mathbf{Y}}_{SV}=\mathbf{Y}\mathbf{V}{\mathbf{D}}_K=\mathbf{U}\mathbf{L}{\mathbf{D}}_K$$得到一个新的接收矩阵${\mathbf{Y}}_{SV}\in {\mathbb{C}}^{M\times K}$，显然，它降低了信号的尺寸，使得算法更加高效，更适合高快拍的情景。

那么，此时，经过线性变换$\mathbf{V}{\mathbf{D}}_K$，信号的模型变为：$${\mathbf{Y}}_{SV}=\mathbf{A}{\mathbf{S}}_{SV}+{\mathbf{N}}_{SV}$$对应的，$l_1$优化问题转变成了：
$$\underset{{\mathbf{S}}_{SV}}{\min }\Vert {\mathbf{Y}}_{SV}-\mathbf{A}{\mathbf{S}}_{SV}{\Vert }_F^2+\lambda \Vert {\tilde{\mathbf{s}}}^{l_2}{\Vert }_1$$由于${\mathbf{S}}_{SV}$相比于$\mathbf{x}$变成了矩阵，因而，${\tilde{\mathbf{s}}}^{l_2}$为矩阵${\mathbf{S}}_{SV}$每一行向量的$l_2$范数，用以替代$\mathbf{x}$的每一个元素。

二阶锥(SOC)优化

以上即为$l_1-\text{SVD}$算法的核心思想，以上优化问题是凸的，通过求解非线性优化即可。

而作者进一步将该问题转化为了二阶锥规划(SOCP)的框架，进而使用更高效的内点法求解。

二阶锥的定义与约束

定义二阶锥：
$${\mathcal{C}}_k=\left\{\left[\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ t\end{array}\right]:\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^{K-1},t\in \mathbb{R},\Vert \mathbf{u}\Vert \le t\right\}$$二阶锥约束可以表示为：
$$\Vert \mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{b}\Vert \le {\mathbf{c}}^T\mathbf{x}+\mathbf{d}$$等价于：
$$\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ {\mathbf{c}}^T\end{array}\right]\mathbf{x}+\left[\begin{array}{c}\mathbf{b}\\ \mathbf{d}\end{array}\right]\in {\mathcal{C}}_k$$

二阶锥优化问题

一般形式：
$$\begin{gathered} \underset{\mathbf{x}}{\min }{\mathbf{f}}^T\mathbf{x} \\ s.t\Vert {\mathbf{A}}_i\mathbf{x}+{\mathbf{b}}_i\Vert \le {\mathbf{c}}_i^T\mathbf{x}+{\mathbf{d}}_i \\ \mathbf{F}\mathbf{x}=\mathbf{g} \end{gathered}$$其中，$\mathbf{f}\in {\mathbb{R}}^n$，${\mathbf{A}}_i\in {\mathbb{R}}^{n_i\times n}$，${\mathbf{b}}_i\in {\mathbb{R}}^{n_i}$，${\mathbf{c}}_i\in {\mathbb{R}}^n$，${\mathbf{d}}_i\in \mathbb{R}$，$\mathbf{F}\in {\mathbb{R}}^{p\times n_i}$和$\mathbf{g}\in {\mathbb{R}}^p$。另外，待优化变量$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$。

注意，二阶锥优化问题对目标函数没有绝对的要求。

理解问题的转化

作者Malioutov最终把非线性优化问题转化成了SOCP问题：$$\begin{gathered} \underset{p,q,\mathbf{r},{\mathbf{S}}_{SV}}{\min }p+\lambda q \\ s.t\Vert \text{vec}\{{\mathbf{Y}}_{SV}-\mathbf{A}{\mathbf{S}}_{SV}\}{\Vert }_2^2\le p \\ {1}^T\mathbf{r}\le q \\ \Vert {\mathbf{S}}_{SV}(i,:){\Vert }_2\le r_i \end{gathered}$$二阶锥规划的约束条件，简单理解为：待优化变量的仿射变换的范数小于等于另一种仿射变换。

因此，对应关系为：
$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ \mathbf{r}\\ \text{vec}\{{\mathbf{S}}_{SV}\}\end{array}\right]$$第一个约束条件转换为：
$$\Vert \text{vec}\{{\mathbf{Y}}_{SV}\}-\left(\mathbf{I}\otimes \mathbf{A}\right)\text{vec}\{{\mathbf{S}}_{SV}\}\Vert \le p$$显然，这符合了二阶锥规划的约束条件的定义。

与MUSIC谱估计对比

两个信源的对比：

两个相近的信源的谱对比：

实验代码

clc;clear all;close all;
twpi = 2*pi;
derad = pi/180;
j = sqrt(-1);

%% 生成信号
M = 8;%阵元数
c = 1500;%声速1500m/s
f = 1e4;%载频10kHz
lambda0 = c/f;%载波波长
dd = 0.5*lambda0;%阵元间距
d = 0:dd:(M-1)*dd;
theta = [10 15];
K = length(theta);%信源数
fs = 2.5*f;%采样频率
L = 100;%快拍数
t = [1:L]/fs;%时域采样
A = exp(j*twpi*d'*sin(theta*derad)/lambda0);%方向向量
S = randn(K,L).*exp(j*twpi*ones(K,1)*f*t);
snr = 20;%信噪比
Y = awgn(A*S,snr,'measured');%加入高斯白噪声

%% 构造完备字典
Grid = -90:1:90;
AA = exp(j*twpi*d'*sin(Grid*derad)/lambda0);
Dk1 = eye(K);
Dk2 = zeros(K,L-K);
Dk = [Dk1,Dk2].';
[U,~,V] = svd(Y);       %进行奇异值分解
Ysv = Y*V'*Dk;

%% 求解凸优化问题
cvx_begin quiet
variables p q
variables r(length(Grid))
variable SSV1(length(Grid),K)  complex;
expression xsv(length(Grid),1)
expressions Zk(M,K) complex
minimize( p + 2*q );
subject to
Zk = Ysv - AA*SSV1;
Zvec = vec(Zk);                  %把矩阵转化为向量
norm(Zvec,2) <= p;               %第一个不等式约束
sum(r) <= q;                     %第二个不等式约束
for i=1:length(Grid)       %第三个不等式约束
    norm(SSV1(i,:),2) <= r(i);
end
cvx_end

%% 绘制空间谱
power = 10*log10(abs(SSV1(:,1))/max(abs(SSV1(:,1))));
h1 = plot(Grid,power,'r');
hold on
xlabel('DOA/degree');
ylabel('PowerdB');

%% 绘制MUSIC空间谱
R = Y*Y'/L;
[EV,D] = eig(R);%特征值分解
DD = diag(D);%将特征值变为向量形式
[DD,I] = sort(DD);%从小到大
EV = fliplr(EV(:,I));
%%%%%%%%%%构造MUSIC的谱函数%%%%%%%%%%%
En = EV(:,K+1:M);%噪声子空间
Pmusic = zeros(1,length(Grid));
for ii = 1:length(Grid)
    Pmusic(ii) = 1/(AA(:,ii)'*En*En'*AA(:,ii));
end
Pmusic=abs(Pmusic);
Pmax = max(Pmusic);
Pmusic_db = 10*log10(Pmusic/Pmax);
h2 = plot(Grid,Pmusic_db,'b');
xlim([-90 90])
set(gca,'XTick',[-90:30:90])
grid on
hold on
m = ylim;
for i = 1:K
    line([theta(i) theta(i)],[m(1) 0],'Color','k','LineWidth',1,'LineStyle','--');
    hold on
end
legend('l1-SVD','MUSIC','Direction of Arrival');
Tick',[-90:30:90])
grid on
hold on
m = ylim;
for i = 1:K
    line([theta(i) theta(i)],[m(1) 0],'Color','k','LineWidth',1,'LineStyle','--');
    hold on
end
legend('l1-SVD','MUSIC','Direction of Arrival');

文献

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