免费馅饼 (DP动态规划问题&详细解析)

免费馅饼

 HDU - 1176

都说天上不会掉馅饼，但有一天gameboy正走在回家的小径上，忽然天上掉下大把大把的馅饼。说来gameboy的人品实在是太好了，这馅饼别处都不掉，就掉落在他身旁的10米范围内。馅饼如果掉在了地上当然就不能吃了，所以gameboy马上卸下身上的背包去接。但由于小径两侧都不能站人，所以他只能在小径上接。由于gameboy平时老呆在房间里玩游戏，虽然在游戏中是个身手敏捷的高手，但在现实中运动神经特别迟钝，每秒种只有在移动不超过一米的范围内接住坠落的馅饼。现在给这条小径如图标上坐标：

为了使问题简化，假设在接下来的一段时间里，馅饼都掉落在0-10这11个位置。开始时gameboy站在5这个位置，因此在第一秒，他只能接到4,5,6这三个位置中其中一个位置上的馅饼。问gameboy最多可能接到多少个馅饼？（假设他的背包可以容纳无穷多个馅饼）

Input

输入数据有多组。每组数据的第一行为以正整数n(0

Output

每一组输入数据对应一行输出。输出一个整数m，表示gameboy最多可能接到m个馅饼。
提示：本题的输入数据量比较大，建议用scanf读入，用cin可能会超时。
 

Sample Input

6
5 1
4 1
6 1
7 2
7 2
8 3
0

Sample Output

4

题意描述：给多组数据，代表了馅饼所在的位置和馅饼在第几秒掉落（当然同一个时间点同一个位置可能会掉很多个馅饼），求gameboy最多可能接到多少个馅饼

解题思路：

1）我们先把每个时间段的馅饼位置一行一行的写出来，因为不能超过1米也就是下一步只能走左边1米，右边1米和原地不动，然后会发现和数字塔差不多，虽然没数字塔那么数字塔。。

2）我们先用二维数组记录某时间段在某个位置会掉下来的馅饼数量，就比如dp[2][7]=2代表的是在第二秒位置7会掉下来的馅饼数量为2（具体怎么记录，请看代码）

3）条件限制：

a.题目中位置一共是在0~10之间移动的，所以我们需要一个条件来限制移动位置不能出界

b.然后因为我们算的是gameboy最多接到的馅饼数跟时间有关，所以我们也要限制馅饼坠落的时间（我们可以在输入数据的时候来定义一个数存时间的界限）

4）因为我们要找的是接到馅饼的最大值，如同数字三角形（OpenJ_Bailian 2760）里倒着把走所有路上的数的相加和找最大和，可以得出公式

dp[i][j] = max (max(dp[i+1] [j+1],dp[i+1][j-1]),dp[i+1][j] ) + dp[i][j]

看不懂的是不是没有好好看前面的步骤，给我看步骤2中本题dp表达的方式！！

5)因为我们是倒着算的，我们最后直接输出dp[0][5]，也就是从下遍历到最开始的位置，然后输出最开始的位置

易错分析：本题数据较大，但是我们也要注意二维数组初始化，然后因为我们定义的是某时间点某个位置的馅饼掉的数，所以我们定义位置的那个数组开到20就行了。 还有就是要注意for循环里面条件限制的界限不要搞错了，位置是0~10，时间要从记录的时间减一到0（因为我们的初始位置的时间点记为0）

对上面提到的数字三角形感兴趣的可以做一下OpenJ_Bailian 2760，下面是我对那个题的博客

数字三角形(动态规划问题-两种写法)_m0_58245389的博客-CSDN博客

然后我觉得本题和 FATE (HDU 2159)有点像，算是它和数字三角形的结合。

FATE（DP二维完全背包问题）_m0_58245389的博客-CSDN博客

 AC

#include
#include
#include
using namespace std;
int dp[100500][20];
int main(void)
{
	int n,a,b,x,t;
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		if(n==0)
		break; 
		b=-1;
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		if(n==0)
		break;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{ 
			scanf("%d %d",&x,&t);//坐标 时间 
			dp[t][x]++;//记录同一个时间点馅饼掉了多少个 
			b=max(b,t);
		}
		//printf("%d\n",b);
		for(int i=b-1;i>=0;i--)//时间限制
			for(int j=0;j<=10;j++)//步数限制 
				dp[i][j]=max(max(dp[i+1][j+1],dp[i+1][j-1]),dp[i+1][j])+dp[i][j];
		printf("%d\n",dp[0][5]);
	}
	return 0;
}