代码随想录Day13--回溯算法专题
回溯算法理论基础
这里给出Carl总结的回溯算法模板。——参见《代码随想录--回溯算法理论基础》
在讲二叉树的递归 (opens new window)中我们说了递归三部曲，这里我再给大家列出回溯三部曲。
- 回溯函数模板返回值以及参数
在回溯算法中，我的习惯是函数起名字为backtracking，这个起名大家随意。
回溯算法中函数返回值一般为void。
再来看一下参数，因为回溯算法需要的参数可不像二叉树递归的时候那么容易一次性确定下来，所以一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。
但后面的回溯题目的讲解中，为了方便大家理解，我在一开始就帮大家把参数确定下来。
回溯函数伪代码如下：
void backtracking(参数)
- 回溯函数终止条件
既然是树形结构，那么我们在讲解二叉树的递归 (opens new window)的时候，就知道遍历树形结构一定要有终止条件。
所以回溯也有要终止条件。
什么时候达到了终止条件，树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。
所以回溯函数终止条件伪代码如下：
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
- 回溯搜索的遍历过程
在上面我们提到了，回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。
如图：
注意图中，我特意举例集合大小和孩子的数量是相等的！
回溯函数遍历过程伪代码如下：
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。
backtracking这里自己调用自己，实现递归。
大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。
分析完过程，回溯算法模板框架如下：
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}
这份模板很重要，后面做回溯法的题目都靠它了！
如果从来没有学过回溯算法的录友们，看到这里会有点懵，后面开始讲解具体题目的时候就会好一些了，已经做过回溯法题目的录友，看到这里应该会感同身受了。
总结：本篇我们讲解了，什么是回溯算法，知道了回溯和递归是相辅相成的。
接着提到了回溯法的效率，回溯法其实就是暴力查找，并不是什么高效的算法。
然后列出了回溯法可以解决几类问题：
- 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
- 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
- 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
- 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
- 棋盘问题：N皇后，解数独等等
可以看出每一类问题都不简单。
最后我们讲到回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），并给出了回溯法的模板。
实例操练
第77题. 组合
力扣题目链接(opens new window)
给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]
代码如下：
未剪枝优化
class Solution {
List> result= new ArrayList<>();
LinkedList path = new LinkedList<>();
public List> combine(int n, int k) {
backtracking(n,k,1);
return result;
}
public void backtracking(int n,int k,int startIndex){
if (path.size() == k){
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i =startIndex;i<=n;i++){
path.add(i);
backtracking(n,k,i+1);
path.removeLast();
}
}
} 剪枝优化
class Solution {
List> result = new ArrayList<>();
LinkedList path = new LinkedList<>();
public List> combine(int n, int k) {
combineHelper(n, k, 1);
return result;
}
/**
* 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex
* @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
*/
private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
//终止条件
if (path.size() == k){
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
path.add(i);
combineHelper(n, k, i + 1);
path.removeLast();
}
}
} 组合问题及优化
代码如下：
class Solution {
List> result = new ArrayList<>();
LinkedList path = new LinkedList<>();
public List> combine(int n, int k) {
combineHelper(n, k, 1);
return result;
}
/**
* 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex
* @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
*/
private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
//终止条件
if (path.size() == k){
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
path.add(i);
combineHelper(n, k, i + 1);
path.removeLast();
}
}
} 216.组合总和III
力扣题目链接(opens new window)
找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。
说明：
- 所有数字都是正整数。
- 解集不能包含重复的组合。
示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]
示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]
代码如下：
模板方法：
class Solution {
List> result = new ArrayList<>();
LinkedList path = new LinkedList<>();
public List> combinationSum3(int k, int n) {
backTracking(n, k, 1, 0);
return result;
}
private void backTracking(int targetSum, int k, int startIndex, int sum) {
// 减枝
if (sum > targetSum) {
return;
}
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
// 减枝 9 - (k - path.size()) + 1
for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) {
path.add(i);
sum += i;
backTracking(targetSum, k, i + 1, sum);
//回溯
path.removeLast();
//回溯
sum -= i;
}
}
}
// 上面剪枝 i <= 9 - (k - path.size()) + 1; 如果还是不清楚
// 也可以改为 if (path.size() > k) return; 执行效率上是一样的
class Solution {
LinkedList path = new LinkedList<>();
List> ans = new ArrayList<>();
public List> combinationSum3(int k, int n) {
build(k, n, 1, 0);
return ans;
}
private void build(int k, int n, int startIndex, int sum) {
if (sum > n) return;
if (path.size() > k) return;
if (sum == n && path.size() == k) {
ans.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for(int i = startIndex; i <= 9; i++) {
path.add(i);
sum += i;
build(k, n, i + 1, sum);
sum -= i;
path.removeLast();
}
}
} 其他方法：
class Solution {
List> res = new ArrayList<>();
List list = new ArrayList<>();
public List> combinationSum3(int k, int n) {
res.clear();
list.clear();
backtracking(k, n, 9);
return res;
}
private void backtracking(int k, int n, int maxNum) {
if (k == 0 && n == 0) {
res.add(new ArrayList<>(list));
return;
}
// 因为不能重复，并且单个数字最大值是maxNum，所以sum最大值为
// （maxNum + (maxNum - 1) + ... + (maxNum - k + 1)） == k * maxNum - k*(k - 1) / 2
if (maxNum == 0
|| n > k * maxNum - k * (k - 1) / 2
|| n < (1 + k) * k / 2) {
return;
}
list.add(maxNum);
backtracking(k - 1, n - maxNum, maxNum - 1);
list.remove(list.size() - 1);
backtracking(k, n, maxNum - 1);
}
} 17.电话号码的字母组合
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给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。
给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。
示例:
- 输入："23"
- 输出：["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"].
说明：尽管上面的答案是按字典序排列的，但是你可以任意选择答案输出的顺序。
代码如下：
class Solution {
//设置全局列表存储最后的结果
List list = new ArrayList<>();
public List letterCombinations(String digits) {
if (digits == null || digits.length() == 0) {
return list;
}
//初始对应所有的数字，为了直接对应2-9，新增了两个无效的字符串""
String[] numString = {"", "", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"};
//迭代处理
backTracking(digits, numString, 0);
return list;
}
//每次迭代获取一个字符串，所以会设计大量的字符串拼接，所以这里选择更为高效的 StringBuild
StringBuilder temp = new StringBuilder();
//比如digits如果为"23",num 为0，则str表示2对应的 abc
public void backTracking(String digits, String[] numString, int num) {
//遍历全部一次记录一次得到的字符串
if (num == digits.length()) {
list.add(temp.toString());
return;
}
//str 表示当前num对应的字符串
String str = numString[digits.charAt(num) - '0'];
for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
temp.append(str.charAt(i));
//c
backTracking(digits, numString, num + 1);
//剔除末尾的继续尝试
temp.deleteCharAt(temp.length() - 1);
}
}
} 39. 组合总和
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给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
说明：
- 所有数字（包括 target）都是正整数。
- 解集不能包含重复的组合。
示例 1：
- 输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
- 所求解集为： [ [7], [2,2,3] ]
示例 2：
- 输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
- 所求解集为： [ [2,2,2,2], [2,3,3], [3,5] ]
代码如下：
// 剪枝优化
class Solution {
public List> combinationSum(int[] candidates, int target) {
List> res = new ArrayList<>();
Arrays.sort(candidates); // 先进行排序
backtracking(res, new ArrayList<>(), candidates, target, 0, 0);
return res;
}
public void backtracking(List> res, List path, int[] candidates, int target, int sum, int idx) {
// 找到了数字和为 target 的组合
if (sum == target) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = idx; i < candidates.length; i++) {
// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
if (sum + candidates[i] > target) break;
path.add(candidates[i]);
backtracking(res, path, candidates, target, sum + candidates[i], i);
path.remove(path.size() - 1); // 回溯，移除路径 path 最后一个元素
}
}
} 40.组合总和II
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给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
说明： 所有数字（包括目标数）都是正整数。解集不能包含重复的组合。
- 示例 1:
- 输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
- 所求解集为:
[
[1, 7],
[1, 2, 5],
[2, 6],
[1, 1, 6]
]
- 示例 2:
- 输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
- 所求解集为:
[
[1,2,2],
[5]
]
代码如下：
使用标记数组：
class Solution {
LinkedList path = new LinkedList<>();
List> ans = new ArrayList<>();
boolean[] used;
int sum = 0;
public List> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
used = new boolean[candidates.length];
// 加标志数组，用来辅助判断同层节点是否已经遍历
Arrays.fill(used, false);
// 为了将重复的数字都放到一起，所以先进行排序
Arrays.sort(candidates);
backTracking(candidates, target, 0);
return ans;
}
private void backTracking(int[] candidates, int target, int startIndex) {
if (sum == target) {
ans.add(new ArrayList(path));
}
for (int i = startIndex; i < candidates.length; i++) {
if (sum + candidates[i] > target) {
break;
}
// 出现重复节点，同层的第一个节点已经被访问过，所以直接跳过
if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && !used[i - 1]) {
continue;
}
used[i] = true;
sum += candidates[i];
path.add(candidates[i]);
// 每个节点仅能选择一次，所以从下一位开始
backTracking(candidates, target, i + 1);
used[i] = false;
sum -= candidates[i];
path.removeLast();
}
}
}
不使用标记数组：
class Solution {
List> res = new ArrayList<>();
LinkedList path = new LinkedList<>();
int sum = 0;
public List> combinationSum2( int[] candidates, int target ) {
//为了将重复的数字都放到一起，所以先进行排序
Arrays.sort( candidates );
backTracking( candidates, target, 0 );
return res;
}
private void backTracking( int[] candidates, int target, int start ) {
if ( sum == target ) {
res.add( new ArrayList<>( path ) );
return;
}
for ( int i = start; i < candidates.length && sum + candidates[i] <= target; i++ ) {
//正确剔除重复解的办法
//跳过同一树层使用过的元素
if ( i > start && candidates[i] == candidates[i - 1] ) {
continue;
}
sum += candidates[i];
path.add( candidates[i] );
// i+1 代表当前组内元素只选取一次
backTracking( candidates, target, i + 1 );
int temp = path.getLast();
sum -= temp;
path.removeLast();
}
}
} 131.分割回文串
力扣题目链接(opens new window)
给定一个字符串 s，将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。
返回 s 所有可能的分割方案。
示例: 输入: "aab" 输出: [ ["aa","b"], ["a","a","b"] ]
代码如下：
class Solution {
List> lists = new ArrayList<>();
Deque deque = new LinkedList<>();
public List> partition(String s) {
backTracking(s, 0);
return lists;
}
private void backTracking(String s, int startIndex) {
//如果起始位置大于s的大小，说明找到了一组分割方案
if (startIndex >= s.length()) {
lists.add(new ArrayList(deque));
return;
}
for (int i = startIndex; i < s.length(); i++) {
//如果是回文子串，则记录
if (isPalindrome(s, startIndex, i)) {
String str = s.substring(startIndex, i + 1);
deque.addLast(str);
} else {
continue;
}
//起始位置后移，保证不重复
backTracking(s, i + 1);
deque.removeLast();
}
}
//判断是否是回文串
private boolean isPalindrome(String s, int startIndex, int end) {
for (int i = startIndex, j = end; i < j; i++, j--) {
if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {
return false;
}
}
return true;
}
} 93.复原IP地址
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给定一个只包含数字的字符串，复原它并返回所有可能的 IP 地址格式。
有效的 IP 地址 正好由四个整数（每个整数位于 0 到 255 之间组成，且不能含有前导 0），整数之间用 '.' 分隔。
例如："0.1.2.201" 和 "192.168.1.1" 是 有效的 IP 地址，但是 "0.011.255.245"、"192.168.1.312" 和 "[email protected]" 是 无效的 IP 地址。
示例 1：
- 输入：s = "25525511135"
- 输出：["255.255.11.135","255.255.111.35"]
示例 2：
- 输入：s = "0000"
- 输出：["0.0.0.0"]
示例 3：
- 输入：s = "1111"
- 输出：["1.1.1.1"]
示例 4：
- 输入：s = "010010"
- 输出：["0.10.0.10","0.100.1.0"]
示例 5：
- 输入：s = "101023"
- 输出：["1.0.10.23","1.0.102.3","10.1.0.23","10.10.2.3","101.0.2.3"]
提示：
- 0 <= s.length <= 3000
- s 仅由数字组成
代码如下：
class Solution {
List result = new ArrayList<>();
public List restoreIpAddresses(String s) {
if (s.length() > 12) return result; // 算是剪枝了
backTrack(s, 0, 0);
return result;
}
// startIndex: 搜索的起始位置， pointNum:添加逗点的数量
private void backTrack(String s, int startIndex, int pointNum) {
if (pointNum == 3) {// 逗点数量为3时，分隔结束
// 判断第四段⼦字符串是否合法，如果合法就放进result中
if (isValid(s,startIndex,s.length()-1)) {
result.add(s);
}
return;
}
for (int i = startIndex; i < s.length(); i++) {
if (isValid(s, startIndex, i)) {
s = s.substring(0, i + 1) + "." + s.substring(i + 1); //在str的后⾯插⼊⼀个逗点
pointNum++;
backTrack(s, i + 2, pointNum);// 插⼊逗点之后下⼀个⼦串的起始位置为i+2
pointNum--;// 回溯
s = s.substring(0, i + 1) + s.substring(i + 2);// 回溯删掉逗点
} else {
break;
}
}
}
// 判断字符串s在左闭⼜闭区间[start, end]所组成的数字是否合法
private Boolean isValid(String s, int start, int end) {
if (start > end) {
return false;
}
if (s.charAt(start) == '0' && start != end) { // 0开头的数字不合法
return false;
}
int num = 0;
for (int i = start; i <= end; i++) {
if (s.charAt(i) > '9' || s.charAt(i) < '0') { // 遇到⾮数字字符不合法
return false;
}
num = num * 10 + (s.charAt(i) - '0');
if (num > 255) { // 如果⼤于255了不合法
return false;
}
}
return true;
}
}
//方法一：但使用stringBuilder，故优化时间、空间复杂度，因为向字符串插入字符时无需复制整个字符串，从而减少了操作的时间复杂度，也不用开新空间存subString，从而减少了空间复杂度。
class Solution {
List result = new ArrayList<>();
public List restoreIpAddresses(String s) {
StringBuilder sb = new StringBuilder(s);
backTracking(sb, 0, 0);
return result;
}
private void backTracking(StringBuilder s, int startIndex, int dotCount){
if(dotCount == 3){
if(isValid(s, startIndex, s.length() - 1)){
result.add(s.toString());
}
return;
}
for(int i = startIndex; i < s.length(); i++){
if(isValid(s, startIndex, i)){
s.insert(i + 1, '.');
backTracking(s, i + 2, dotCount + 1);
s.deleteCharAt(i + 1);
}else{
break;
}
}
}
//[start, end]
private boolean isValid(StringBuilder s, int start, int end){
if(start > end)
return false;
if(s.charAt(start) == '0' && start != end)
return false;
int num = 0;
for(int i = start; i <= end; i++){
int digit = s.charAt(i) - '0';
num = num * 10 + digit;
if(num > 255)
return false;
}
return true;
}
}
//方法二：比上面的方法时间复杂度低，更好地剪枝，优化时间复杂度
class Solution {
List result = new ArrayList();
StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
public List restoreIpAddresses(String s) {
restoreIpAddressesHandler(s, 0, 0);
return result;
}
// number表示stringbuilder中ip段的数量
public void restoreIpAddressesHandler(String s, int start, int number) {
// 如果start等于s的长度并且ip段的数量是4，则加入结果集，并返回
if (start == s.length() && number == 4) {
result.add(stringBuilder.toString());
return;
}
// 如果start等于s的长度但是ip段的数量不为4，或者ip段的数量为4但是start小于s的长度，则直接返回
if (start == s.length() || number == 4) {
return;
}
// 剪枝：ip段的长度最大是3，并且ip段处于[0,255]
for (int i = start; i < s.length() && i - start < 3 && Integer.parseInt(s.substring(start, i + 1)) >= 0
&& Integer.parseInt(s.substring(start, i + 1)) <= 255; i++) {
// 如果ip段的长度大于1，并且第一位为0的话，continue
if (i + 1 - start > 1 && s.charAt(start) - '0' == 0) {
continue;
}
stringBuilder.append(s.substring(start, i + 1));
// 当stringBuilder里的网段数量小于3时，才会加点；如果等于3，说明已经有3段了，最后一段不需要再加点
if (number < 3) {
stringBuilder.append(".");
}
number++;
restoreIpAddressesHandler(s, i + 1, number);
number--;
// 删除当前stringBuilder最后一个网段，注意考虑点的数量的问题
stringBuilder.delete(start + number, i + number + 2);
}
}
} 78.子集
力扣题目链接(opens new window)
给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。
说明：解集不能包含重复的子集。
示例: 输入: nums = [1,2,3] 输出: [ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2], [] ]
代码如下：
class Solution {
List> result = new ArrayList<>();// 存放符合条件结果的集合
LinkedList path = new LinkedList<>();// 用来存放符合条件结果
public List> subsets(int[] nums) {
subsetsHelper(nums, 0);
return result;
}
private void subsetsHelper(int[] nums, int startIndex){
result.add(new ArrayList<>(path));//「遍历这个树的时候，把所有节点都记录下来，就是要求的子集集合」。
if (startIndex >= nums.length){ //终止条件可不加
return;
}
for (int i = startIndex; i < nums.length; i++){
path.add(nums[i]);
subsetsHelper(nums, i + 1);
path.removeLast();
}
}
} 90.子集II
力扣题目链接(opens new window)
给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。
说明：解集不能包含重复的子集。
示例:
- 输入: [1,2,2]
- 输出: [ [2], [1], [1,2,2], [2,2], [1,2], [] ]
代码如下：
使用used数组：
class Solution {
List> result = new ArrayList<>();// 存放符合条件结果的集合
LinkedList path = new LinkedList<>();// 用来存放符合条件结果
boolean[] used;
public List> subsetsWithDup(int[] nums) {
if (nums.length == 0){
result.add(path);
return result;
}
Arrays.sort(nums);
used = new boolean[nums.length];
subsetsWithDupHelper(nums, 0);
return result;
}
private void subsetsWithDupHelper(int[] nums, int startIndex){
result.add(new ArrayList<>(path));
if (startIndex >= nums.length){
return;
}
for (int i = startIndex; i < nums.length; i++){
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && !used[i - 1]){
continue;
}
path.add(nums[i]);
used[i] = true;
subsetsWithDupHelper(nums, i + 1);
path.removeLast();
used[i] = false;
}
}
} 不使用used数组：
class Solution {
List> res = new ArrayList<>();
LinkedList path = new LinkedList<>();
public List> subsetsWithDup( int[] nums ) {
Arrays.sort( nums );
subsetsWithDupHelper( nums, 0 );
return res;
}
private void subsetsWithDupHelper( int[] nums, int start ) {
res.add( new ArrayList<>( path ) );
for ( int i = start; i < nums.length; i++ ) {
// 跳过当前树层使用过的、相同的元素
if ( i > start && nums[i - 1] == nums[i] ) {
continue;
}
path.add( nums[i] );
subsetsWithDupHelper( nums, i + 1 );
path.removeLast();
}
}
} 491.递增子序列
力扣题目链接(opens new window)
给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列，递增子序列的长度至少是2。
示例:
- 输入: [4, 6, 7, 7]
- 输出: [[4, 6], [4, 7], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7,7], [4,7,7]]
说明:
- 给定数组的长度不会超过15。
- 数组中的整数范围是 [-100,100]。
- 给定数组中可能包含重复数字，相等的数字应该被视为递增的一种情况。
代码如下：
class Solution {
List> result = new ArrayList<>();
List path = new ArrayList<>();
public List> findSubsequences(int[] nums) {
backTracking(nums, 0);
return result;
}
private void backTracking(int[] nums, int startIndex){
if(path.size() >= 2)
result.add(new ArrayList<>(path));
HashSet hs = new HashSet<>();
for(int i = startIndex; i < nums.length; i++){
if(!path.isEmpty() && path.get(path.size() -1 ) > nums[i] || hs.contains(nums[i]))
continue;
hs.add(nums[i]);
path.add(nums[i]);
backTracking(nums, i + 1);
path.remove(path.size() - 1);
}
}
} class Solution {
private List path = new ArrayList<>();
private List> res = new ArrayList<>();
public List> findSubsequences(int[] nums) {
backtracking(nums,0);
return res;
}
private void backtracking (int[] nums, int start) {
if (path.size() > 1) {
res.add(new ArrayList<>(path));
}
int[] used = new int[201];
for (int i = start; i < nums.length; i++) {
if (!path.isEmpty() && nums[i] < path.get(path.size() - 1) ||
(used[nums[i] + 100] == 1)) continue;
used[nums[i] + 100] = 1;
path.add(nums[i]);
backtracking(nums, i + 1);
path.remove(path.size() - 1);
}
}
} //法二：使用map
class Solution {
//结果集合
List> res = new ArrayList<>();
//路径集合
LinkedList path = new LinkedList<>();
public List> findSubsequences(int[] nums) {
getSubsequences(nums,0);
return res;
}
private void getSubsequences( int[] nums, int start ) {
if(path.size()>1 ){
res.add( new ArrayList<>(path) );
// 注意这里不要加return，要取树上的节点
}
HashMap map = new HashMap<>();
for(int i=start ;i < nums.length ;i++){
if(!path.isEmpty() && nums[i]< path.getLast()){
continue;
}
// 使用过了当前数字
if ( map.getOrDefault( nums[i],0 ) >=1 ){
continue;
}
map.put(nums[i],map.getOrDefault( nums[i],0 )+1);
path.add( nums[i] );
getSubsequences( nums,i+1 );
path.removeLast();
}
}
} 46.全排列
力扣题目链接(opens new window)
给定一个 没有重复 数字的序列，返回其所有可能的全排列。
示例:
- 输入: [1,2,3]
- 输出: [ [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], [3,2,1] ]
代码如下：
class Solution {
List> result = new ArrayList<>();// 存放符合条件结果的集合
LinkedList path = new LinkedList<>();// 用来存放符合条件结果
boolean[] used;
public List> permute(int[] nums) {
if (nums.length == 0){
return result;
}
used = new boolean[nums.length];
permuteHelper(nums);
return result;
}
private void permuteHelper(int[] nums){
if (path.size() == nums.length){
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = 0; i < nums.length; i++){
if (used[i]){
continue;
}
used[i] = true;
path.add(nums[i]);
permuteHelper(nums);
path.removeLast();
used[i] = false;
}
}
} // 解法2：通过判断path中是否存在数字，排除已经选择的数字
class Solution {
List> result = new ArrayList<>();
LinkedList path = new LinkedList<>();
public List> permute(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return result;
backtrack(nums, path);
return result;
}
public void backtrack(int[] nums, LinkedList path) {
if (path.size() == nums.length) {
result.add(new ArrayList<>(path));
}
for (int i =0; i < nums.length; i++) {
// 如果path中已有，则跳过
if (path.contains(nums[i])) {
continue;
}
path.add(nums[i]);
backtrack(nums, path);
path.removeLast();
}
}
} 47.全排列 II
力扣题目链接(opens new window)
给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。
示例 1：
- 输入：nums = [1,1,2]
- 输出： [[1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]]
示例 2：
- 输入：nums = [1,2,3]
- 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
提示：
- 1 <= nums.length <= 8
- -10 <= nums[i] <= 10
代码如下：
class Solution {
//存放结果
List> result = new ArrayList<>();
//暂存结果
List path = new ArrayList<>();
public List> permuteUnique(int[] nums) {
boolean[] used = new boolean[nums.length];
Arrays.fill(used, false);
Arrays.sort(nums);
backTrack(nums, used);
return result;
}
private void backTrack(int[] nums, boolean[] used) {
if (path.size() == nums.length) {
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
// used[i - 1] == true，说明同⼀树⽀nums[i - 1]使⽤过
// used[i - 1] == false，说明同⼀树层nums[i - 1]使⽤过
// 如果同⼀树层nums[i - 1]使⽤过则直接跳过
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
continue;
}
//如果同⼀树⽀nums[i]没使⽤过开始处理
if (used[i] == false) {
used[i] = true;//标记同⼀树⽀nums[i]使⽤过，防止同一树枝重复使用
path.add(nums[i]);
backTrack(nums, used);
path.remove(path.size() - 1);//回溯，说明同⼀树层nums[i]使⽤过，防止下一树层重复
used[i] = false;//回溯
}
}
}
} 回溯算法去重问题周总结
47.全排列II
class Solution {
private List> res = new ArrayList<>();
private List path = new ArrayList<>();
private boolean[] used = null;
public List> permuteUnique(int[] nums) {
used = new boolean[nums.length];
Arrays.sort(nums);
backtracking(nums);
return res;
}
public void backtracking(int[] nums) {
if (path.size() == nums.length) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
HashSet hashSet = new HashSet<>();//层去重
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (hashSet.contains(nums[i]))
continue;
if (used[i] == true)//枝去重
continue;
hashSet.add(nums[i]);//记录元素
used[i] = true;
path.add(nums[i]);
backtracking(nums);
path.remove(path.size() - 1);
used[i] = false;
}
}
} 90.子集II
class Solution {
List> reslut = new ArrayList<>();
LinkedList path = new LinkedList<>();
public List> subsetsWithDup(int[] nums) {
if(nums.length == 0){
reslut.add(path);
return reslut;
}
Arrays.sort(nums);
backtracking(nums,0);
return reslut;
}
public void backtracking(int[] nums,int startIndex){
reslut.add(new ArrayList<>(path));
if(startIndex >= nums.length)return;
HashSet hashSet = new HashSet<>();
for(int i = startIndex; i < nums.length; i++){
if(hashSet.contains(nums[i])){
continue;
}
hashSet.add(nums[i]);
path.add(nums[i]);
backtracking(nums,i+1);
path.removeLast();
}
}
} 40.组合总和II
class Solution {
List> result = new ArrayList<>();
LinkedList path = new LinkedList<>();
public List> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
Arrays.sort( candidates );
if( candidates[0] > target ) return result;
backtracking(candidates,target,0,0);
return result;
}
public void backtracking(int[] candidates,int target,int sum,int startIndex){
if( sum > target )return;
if( sum == target ){
result.add( new ArrayList<>(path) );
}
HashSet hashSet = new HashSet<>();
for( int i = startIndex; i < candidates.length; i++){
if( hashSet.contains(candidates[i]) ){
continue;
}
hashSet.add(candidates[i]);
path.add(candidates[i]);
sum += candidates[i];
backtracking(candidates,target,sum,i+1);
path.removeLast();
sum -= candidates[i];
}
}
} 332.重新安排行程
力扣题目链接(opens new window)
给定一个机票的字符串二维数组 [from, to]，子数组中的两个成员分别表示飞机出发和降落的机场地点，对该行程进行重新规划排序。所有这些机票都属于一个从 JFK（肯尼迪国际机场）出发的先生，所以该行程必须从 JFK 开始。
提示：
- 如果存在多种有效的行程，请你按字符自然排序返回最小的行程组合。例如，行程 ["JFK", "LGA"] 与 ["JFK", "LGB"] 相比就更小，排序更靠前
- 所有的机场都用三个大写字母表示（机场代码）。
- 假定所有机票至少存在一种合理的行程。
- 所有的机票必须都用一次 且 只能用一次。
示例 1：
- 输入：[["MUC", "LHR"], ["JFK", "MUC"], ["SFO", "SJC"], ["LHR", "SFO"]]
- 输出：["JFK", "MUC", "LHR", "SFO", "SJC"]
示例 2：
- 输入：[["JFK","SFO"],["JFK","ATL"],["SFO","ATL"],["ATL","JFK"],["ATL","SFO"]]
- 输出：["JFK","ATL","JFK","SFO","ATL","SFO"]
- 解释：另一种有效的行程是 ["JFK","SFO","ATL","JFK","ATL","SFO"]。但是它自然排序更大更靠后。
代码如下：
class Solution {
private LinkedList res;
private LinkedList path = new LinkedList<>();
public List findItinerary(List> tickets) {
Collections.sort(tickets, (a, b) -> a.get(1).compareTo(b.get(1)));
path.add("JFK");
boolean[] used = new boolean[tickets.size()];
backTracking((ArrayList) tickets, used);
return res;
}
public boolean backTracking(ArrayList> tickets, boolean[] used) {
if (path.size() == tickets.size() + 1) {
res = new LinkedList(path);
return true;
}
for (int i = 0; i < tickets.size(); i++) {
if (!used[i] && tickets.get(i).get(0).equals(path.getLast())) {
path.add(tickets.get(i).get(1));
used[i] = true;
if (backTracking(tickets, used)) {
return true;
}
used[i] = false;
path.removeLast();
}
}
return false;
}
} class Solution {
private Deque res;
private Map> map;
private boolean backTracking(int ticketNum){
if(res.size() == ticketNum + 1){
return true;
}
String last = res.getLast();
if(map.containsKey(last)){//防止出现null
for(Map.Entry target : map.get(last).entrySet()){
int count = target.getValue();
if(count > 0){
res.add(target.getKey());
target.setValue(count - 1);
if(backTracking(ticketNum)) return true;
res.removeLast();
target.setValue(count);
}
}
}
return false;
}
public List findItinerary(List> tickets) {
map = new HashMap>();
res = new LinkedList<>();
for(List t : tickets){
Map temp;
if(map.containsKey(t.get(0))){
temp = map.get(t.get(0));
temp.put(t.get(1), temp.getOrDefault(t.get(1), 0) + 1);
}else{
temp = new TreeMap<>();//升序Map
temp.put(t.get(1), 1);
}
map.put(t.get(0), temp);
}
res.add("JFK");
backTracking(tickets.size());
return new ArrayList<>(res);
}
} /* 该方法是对第二个方法的改进，主要变化在于将某点的所有终点变更为链表的形式，优点在于
1.添加终点时直接在对应位置添加节点，避免了TreeMap增元素时的频繁调整
2.同时每次对终点进行增加删除查找时直接通过下标操作，避免hashMap反复计算hash*/
class Solution {
//key为起点，value是有序的终点的列表
Map> ticketMap = new HashMap<>();
LinkedList result = new LinkedList<>();
int total;
public List findItinerary(List> tickets) {
total = tickets.size() + 1;
//遍历tickets，存入ticketMap中
for (List ticket : tickets) {
addNew(ticket.get(0), ticket.get(1));
}
deal("JFK");
return result;
}
boolean deal(String currentLocation) {
result.add(currentLocation);
//机票全部用完，找到最小字符路径
if (result.size() == total) {
return true;
}
//当前位置的终点列表
LinkedList targetLocations = ticketMap.get(currentLocation);
//没有从当前位置出发的机票了，说明这条路走不通
if (targetLocations != null && !targetLocations.isEmpty()) {
//终点列表中遍历到的终点
String targetLocation;
//遍历从当前位置出发的机票
for (int i = 0; i < targetLocations.size(); i++) {
targetLocation = targetLocations.get(i);
//删除终点列表中当前的终点
targetLocations.remove(i);
//递归
if (deal(targetLocation)) {
return true;
}
//路线走不通，将机票重新加回去
targetLocations.add(i, targetLocation);
result.removeLast();
}
}
return false;
}
/**
* 在map中按照字典顺序添加新元素
*
* @param start 起点
* @param end 终点
*/
void addNew(String start, String end) {
LinkedList startAllEnd = ticketMap.getOrDefault(start, new LinkedList<>());
if (!startAllEnd.isEmpty()) {
for (int i = 0; i < startAllEnd.size(); i++) {
if (end.compareTo(startAllEnd.get(i)) < 0) {
startAllEnd.add(i, end);
return;
}
}
startAllEnd.add(startAllEnd.size(), end);
} else {
startAllEnd.add(end);
ticketMap.put(start, startAllEnd);
}
}
} 51. N皇后
力扣题目链接(opens new window)
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例 1：
- 输入：n = 4
- 输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
- 解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。
示例 2：
- 输入：n = 1
- 输出：[["Q"]]
代码如下：
class Solution {
List> res = new ArrayList<>();
public List> solveNQueens(int n) {
char[][] chessboard = new char[n][n];
for (char[] c : chessboard) {
Arrays.fill(c, '.');
}
backTrack(n, 0, chessboard);
return res;
}
public void backTrack(int n, int row, char[][] chessboard) {
if (row == n) {
res.add(Array2List(chessboard));
return;
}
for (int col = 0;col < n; ++col) {
if (isValid (row, col, n, chessboard)) {
chessboard[row][col] = 'Q';
backTrack(n, row+1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.';
}
}
}
public List Array2List(char[][] chessboard) {
List list = new ArrayList<>();
for (char[] c : chessboard) {
list.add(String.copyValueOf(c));
}
return list;
}
public boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {
// 检查列
for (int i=0; i=0 && j>=0; i--, j--) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查135度对角线
for (int i=row-1, j=col+1; i>=0 && j<=n-1; i--, j++) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
} // 方法2：使用boolean数组表示已经占用的直(斜)线
class Solution {
List> res = new ArrayList<>();
boolean[] usedCol, usedDiag45, usedDiag135; // boolean数组中的每个元素代表一条直(斜)线
public List> solveNQueens(int n) {
usedCol = new boolean[n]; // 列方向的直线条数为 n
usedDiag45 = new boolean[2 * n - 1]; // 45°方向的斜线条数为 2 * n - 1
usedDiag135 = new boolean[2 * n - 1]; // 135°方向的斜线条数为 2 * n - 1
//用于收集结果, 元素的index表示棋盘的row，元素的value代表棋盘的column
int[] board = new int[n];
backTracking(board, n, 0);
return res;
}
private void backTracking(int[] board, int n, int row) {
if (row == n) {
//收集结果
List temp = new ArrayList<>();
for (int i : board) {
char[] str = new char[n];
Arrays.fill(str, '.');
str[i] = 'Q';
temp.add(new String(str));
}
res.add(temp);
return;
}
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (usedCol[col] | usedDiag45[row + col] | usedDiag135[row - col + n - 1]) {
continue;
}
board[row] = col;
// 标记该列出现过
usedCol[col] = true;
// 同一45°斜线上元素的row + col为定值, 且各不相同
usedDiag45[row + col] = true;
// 同一135°斜线上元素row - col为定值, 且各不相同
// row - col 值有正有负, 加 n - 1 是为了对齐零点
usedDiag135[row - col + n - 1] = true;
// 递归
backTracking(board, n, row + 1);
usedCol[col] = false;
usedDiag45[row + col] = false;
usedDiag135[row - col + n - 1] = false;
}
}
} 37. 解数独
力扣题目链接(opens new window)
编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。
一个数独的解法需遵循如下规则： 数字 1-9 在每一行只能出现一次。 数字 1-9 在每一列只能出现一次。 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。 空白格用 '.' 表示。
一个数独。
答案被标成红色。
提示：
- 给定的数独序列只包含数字 1-9 和字符 '.' 。
- 你可以假设给定的数独只有唯一解。
- 给定数独永远是 9x9 形式的。
代码如下：
class Solution {
public void solveSudoku(char[][] board) {
solveSudokuHelper(board);
}
private boolean solveSudokuHelper(char[][] board){
//「一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，
// 一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！」
for (int i = 0; i < 9; i++){ // 遍历行
for (int j = 0; j < 9; j++){ // 遍历列
if (board[i][j] != '.'){ // 跳过原始数字
continue;
}
for (char k = '1'; k <= '9'; k++){ // (i, j) 这个位置放k是否合适
if (isValidSudoku(i, j, k, board)){
board[i][j] = k;
if (solveSudokuHelper(board)){ // 如果找到合适一组立刻返回
return true;
}
board[i][j] = '.';
}
}
// 9个数都试完了，都不行，那么就返回false
return false;
// 因为如果一行一列确定下来了，这里尝试了9个数都不行，说明这个棋盘找不到解决数独问题的解！
// 那么会直接返回， 「这也就是为什么没有终止条件也不会永远填不满棋盘而无限递归下去！」
}
}
// 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
return true;
}
/**
* 判断棋盘是否合法有如下三个维度:
* 同行是否重复
* 同列是否重复
* 9宫格里是否重复
*/
private boolean isValidSudoku(int row, int col, char val, char[][] board){
// 同行是否重复
for (int i = 0; i < 9; i++){
if (board[row][i] == val){
return false;
}
}
// 同列是否重复
for (int j = 0; j < 9; j++){
if (board[j][col] == val){
return false;
}
}
// 9宫格里是否重复
int startRow = (row / 3) * 3;
int startCol = (col / 3) * 3;
for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++){
for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++){
if (board[i][j] == val){
return false;
}
}
}
return true;
}
}回溯算法总结篇：
回溯法理论基础
转眼间「代码随想录」 (opens new window)里已经分享连续讲解了21天的回溯算法，是时候做一个大总结了，本篇高能，需要花费很大的精力来看！
关于回溯算法理论基础，我录了一期B站视频带你学透回溯算法（理论篇） (opens new window)如果对回溯算法还不了解的话，可以看一下。
在关于回溯算法，你该了解这些！ (opens new window)中我们详细的介绍了回溯算法的理论知识，不同于教科书般的讲解，这里介绍的回溯法的效率，解决的问题以及模板都是在刷题的过程中非常实用！
回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯，所以回溯法也经常和二叉树遍历，深度优先搜索混在一起，因为这两种方式都是用了递归。
回溯法就是暴力搜索，并不是什么高效的算法，最多再剪枝一下。
回溯算法能解决如下问题：
- 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
- 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
- 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
- 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
- 棋盘问题：N皇后，解数独等等
我在回溯算法系列讲解中就按照这个顺序给大家讲解，可以说深入浅出，步步到位。
回溯法确实不好理解，所以需要把回溯法抽象为一个图形来理解就容易多了，在后面的每一道回溯法的题目我都将遍历过程抽象为树形结构方便大家的理解。
在关于回溯算法，你该了解这些！ (opens new window)还用了回溯三部曲来分析回溯算法，并给出了回溯法的模板：
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}
事实证明这个模板会伴随整个回溯法系列！
#组合问题
#组合问题
在回溯算法：求组合问题！ (opens new window)中，我们开始用回溯法解决第一道题目：组合问题。
我在文中开始的时候给大家列举k层for循环例子，进而得出都是同样是暴力解法，为什么要用回溯法！
此时大家应该深有体会回溯法的魅力，用递归控制for循环嵌套的数量！
本题我把回溯问题抽象为树形结构，如题：
可以直观的看出其搜索的过程：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集，这个理念贯穿整个回溯法系列，也是我做了很多回溯的题目，不断摸索其规律才总结出来的。
对于回溯法的整体框架，网上搜的文章这块都说不清楚，按照天上掉下来的代码对着讲解，不知道究竟是怎么来的，也不知道为什么要这么写。
所以，录友们刚开始学回溯法，起跑姿势就很标准了！
优化回溯算法只有剪枝一种方法，在回溯算法：组合问题再剪剪枝 (opens new window)中把回溯法代码做了剪枝优化，树形结构如图：
大家可以一目了然剪的究竟是哪里。
回溯算法：求组合问题！ (opens new window)剪枝精髓是：for循环在寻找起点的时候要有一个范围，如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够题目要求的k个元素了，就没有必要搜索了。
在for循环上做剪枝操作是回溯法剪枝的常见套路！ 后面的题目还会经常用到。
#组合总和
#组合总和（一）
在回溯算法：求组合总和！ (opens new window)中，相当于 回溯算法：求组合问题！ (opens new window)加了一个元素总和的限制。
树形结构如图：
整体思路还是一样的，本题的剪枝会好想一些，即：已选元素总和如果已经大于n（题中要求的和）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉，如图：
在本题中，依然还可以有一个剪枝，就是回溯算法：组合问题再剪剪枝 (opens new window)中提到的，对for循环选择的起始范围的剪枝。
所以剪枝的代码可以在for循环加上 i <= 9 - (k - path.size()) + 1 的限制！
#组合总和（二）
在回溯算法：求组合总和（二） (opens new window)中讲解的组合总和问题，和回溯算法：求组合问题！ (opens new window)，回溯算法：求组合总和！ (opens new window)和区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。
不少同学都是看到可以重复选择，就义无反顾的把startIndex去掉了。
本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？
我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：回溯算法：求组合问题！ (opens new window)，回溯算法：求组合总和！ (opens new window)。
如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：回溯算法：电话号码的字母组合(opens new window)
注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路。
树形结构如下：
最后还给出了本题的剪枝优化，如下：
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)
优化后树形结构如下：
#组合总和（三）
在回溯算法：求组合总和（三） (opens new window)中集合元素会有重复，但要求解集不能包含重复的组合。
所以难就难在去重问题上了。
这个去重问题，相信做过的录友都知道有多么的晦涩难懂。网上的题解一般就说“去掉重复”，但说不清怎么个去重，代码一甩就完事了。
为了讲解这个去重问题，Carl自创了两个词汇，“树枝去重”和“树层去重”。
都知道组合问题可以抽象为树形结构，那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上“使用过”，一个维度是同一树层上“使用过”。没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。
我在图中将used的变化用橘黄色标注上，可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：
- used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
- used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
这块去重的逻辑很抽象，网上搜的题解基本没有能讲清楚的，如果大家之前思考过这个问题或者刷过这道题目，看到这里一定会感觉通透了很多！
对于去重，其实排列和子集问题也是一样的道理。
#多个集合求组合
在回溯算法：电话号码的字母组合 (opens new window)中，开始用多个集合来求组合，还是熟悉的模板题目，但是有一些细节。
例如这里for循环，可不像是在 回溯算法：求组合问题！ (opens new window)和回溯算法：求组合总和！ (opens new window)中从startIndex开始遍历的。
因为本题每一个数字代表的是不同集合，也就是求不同集合之间的组合，而回溯算法：求组合问题！ (opens new window)和回溯算法：求组合总和！ (opens new window)都是是求同一个集合中的组合！
树形结构如下：
如果大家在现场面试的时候，一定要注意各种输入异常的情况，例如本题输入1 * #按键。
其实本题不算难，但也处处是细节，还是要反复琢磨。
#切割问题
在回溯算法：分割回文串 (opens new window)中，我们开始讲解切割问题，虽然最后代码看起来好像是一道模板题，但是从分析到学会套用这个模板，是比较难的。
我列出如下几个难点：
- 切割问题其实类似组合问题
- 如何模拟那些切割线
- 切割问题中递归如何终止
- 在递归循环中如何截取子串
- 如何判断回文
如果想到了用求解组合问题的思路来解决 切割问题本题就成功一大半了，接下来就可以对着模板照葫芦画瓢。
但后序如何模拟切割线，如何终止，如何截取子串，其实都不好想，最后判断回文算是最简单的了。
所以本题应该是一个道hard题目了。
除了这些难点，本题还有细节，例如：切割过的地方不能重复切割所以递归函数需要传入i + 1。
树形结构如下：
#子集问题
#子集问题（一）
在回溯算法：求子集问题！ (opens new window)中讲解了子集问题，在树形结构中子集问题是要收集所有节点的结果，而组合问题是收集叶子节点的结果。
如图：
认清这个本质之后，今天的题目就是一道模板题了。
本题其实可以不需要加终止条件，因为startIndex >= nums.size()，本层for循环本来也结束了，本来我们就要遍历整棵树。
有的同学可能担心不写终止条件会不会无限递归？
并不会，因为每次递归的下一层就是从i+1开始的。
如果要写终止条件，注意：result.push_back(path);要放在终止条件的上面，如下：
result.push_back(path); // 收集子集，要放在终止添加的上面，否则会漏掉结果
if (startIndex >= nums.size()) { // 终止条件可以不加
return;
}
#子集问题（二）
在回溯算法：求子集问题（二） (opens new window)中，开始针对子集问题进行去重。
本题就是回溯算法：求子集问题！ (opens new window)的基础上加上了去重，去重我们在回溯算法：求组合总和（三） (opens new window)也讲过了，一样的套路。
树形结构如下：
#递增子序列
在回溯算法：递增子序列 (opens new window)中，处处都能看到子集的身影，但处处是陷阱，值得好好琢磨琢磨！
树形结构如下：
很多同学都会把这道题目和回溯算法：求子集问题（二） (opens new window)混在一起。
回溯算法：求子集问题（二） (opens new window)也可以使用set针对同一父节点本层去重，但子集问题一定要排序，为什么呢？
我用没有排序的集合{2,1,2,2}来举个例子画一个图，如下：
相信这个图胜过千言万语的解释了。
#排列问题
#排列问题（一）
回溯算法：排列问题！ (opens new window)又不一样了。
排列是有序的，也就是说 [1,2] 和 [2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。
可以看出元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要在使用一次1，所以处理排列问题就不用使用startIndex了。
如图：
大家此时可以感受出排列问题的不同：
- 每层都是从0开始搜索而不是startIndex
- 需要used数组记录path里都放了哪些元素了
#排列问题（二）
排列问题也要去重了，在回溯算法：排列问题（二） (opens new window)中又一次强调了“树层去重”和“树枝去重”。
树形结构如下：
这道题目神奇的地方就是used[i - 1] == false也可以，used[i - 1] == true也可以！
我就用输入: [1,1,1] 来举一个例子。
树层上去重(used[i - 1] == false)，的树形结构如下：
树枝上去重（used[i - 1] == true）的树型结构如下：
可以清晰的看到使用(used[i - 1] == false)，即树层去重，效率更高！
本题used数组即是记录path里都放了哪些元素，同时也用来去重，一举两得。
#去重问题
以上我都是统一使用used数组来去重的，其实使用set也可以用来去重！
在本周小结！（回溯算法系列三）续集 (opens new window)中给出了子集、组合、排列问题使用set来去重的解法以及具体代码，并纠正一些同学的常见错误写法。
同时详细分析了 使用used数组去重 和 使用set去重 两种写法的性能差异：
使用set去重的版本相对于used数组的版本效率都要低很多，大家在leetcode上提交，能明显发现。
原因在回溯算法：递增子序列 (opens new window)中也分析过，主要是因为程序运行的时候对unordered_set 频繁的insert，unordered_set需要做哈希映射（也就是把key通过hash function映射为唯一的哈希值）相对费时间，而且insert的时候其底层的符号表也要做相应的扩充，也是费时的。
而使用used数组在时间复杂度上几乎没有额外负担！
使用set去重，不仅时间复杂度高了，空间复杂度也高了，在本周小结！（回溯算法系列三） (opens new window)中分析过，组合，子集，排列问题的空间复杂度都是O(n)，但如果使用set去重，空间复杂度就变成了O(n^2)，因为每一层递归都有一个set集合，系统栈空间是n，每一个空间都有set集合。
那有同学可能疑惑 用used数组也是占用O(n)的空间啊？
used数组可是全局变量，每层与每层之间公用一个used数组，所以空间复杂度是O(n + n)，最终空间复杂度还是O(n)。
#重新安排行程（图论额外拓展）
之前说过，有递归的地方就有回溯，深度优先搜索也是用递归来实现的，所以往往伴随着回溯。
在回溯算法：重新安排行程 (opens new window)其实也算是图论里深搜的题目，但是我用回溯法的套路来讲解这道题目，算是给大家拓展一下思路，原来回溯法还可以这么玩！
以输入：[["JFK", "KUL"], ["JFK", "NRT"], ["NRT", "JFK"]为例，抽象为树形结构如下：
本题可以算是一道hard的题目了，关于本题的难点我在文中已经详细列出。
如果单纯的回溯搜索（深搜）并不难，难还难在容器的选择和使用上！
本题其实是一道深度优先搜索的题目，但是我完全使用回溯法的思路来讲解这道题题目，算是给大家拓展一下思维方式，其实深搜和回溯也是分不开的，毕竟最终都是用递归。
#棋盘问题
#N皇后问题
在回溯算法：N皇后问题 (opens new window)中终于迎来了传说中的N皇后。
下面我用一个3 * 3 的棋盘，将搜索过程抽象为一棵树，如图：
从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。
那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这棵树，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。
如果从来没有接触过N皇后问题的同学看着这样的题会感觉无从下手，可能知道要用回溯法，但也不知道该怎么去搜。
这里我明确给出了棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，这样就可以套进回溯法的模板里了。
相信看完本篇回溯算法：N皇后问题 (opens new window)也没那么难了，传说已经不是传说了。
#解数独问题
在回溯算法：解数独 (opens new window)中要征服回溯法的最后一道山峰。
解数独应该是棋盘很难的题目了，比N皇后还要复杂一些，但只要理解 “二维递归”这个过程，其实发现就没那么难了。
大家已经跟着「代码随想录」刷过了如下回溯法题目，例如：77.组合（组合问题） (opens new window)，131.分割回文串（分割问题） (opens new window)，78.子集（子集问题） (opens new window)，46.全排列（排列问题） (opens new window)，以及51.N皇后（N皇后问题） (opens new window)，其实这些题目都是一维递归。
其中N皇后问题 (opens new window)是因为每一行每一列只放一个皇后，只需要一层for循环遍历一行，递归来遍历列，然后一行一列确定皇后的唯一位置。
本题就不一样了，本题中棋盘的每一个位置都要放一个数字，并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。
因为这个树形结构太大了，我抽取一部分，如图所示：
解数独可以说是非常难的题目了，如果还一直停留在一维递归的逻辑中，这道题目可以让大家瞬间崩溃。
所以我在回溯算法：解数独 (opens new window)中开篇就提到了二维递归，这也是我自创词汇，希望可以帮助大家理解解数独的搜索过程。
一波分析之后，在看代码会发现其实也不难，唯一难点就是理解二维递归的思维逻辑。
这样，解数独这么难的问题也被我们攻克了。
#性能分析
关于回溯算法的复杂度分析在网上的资料鱼龙混杂，一些所谓的经典面试书籍不讲回溯算法，算法书籍对这块也避而不谈，感觉就像是算法里模糊的边界。
所以这块就说一说我个人理解，对内容持开放态度，集思广益，欢迎大家来讨论！
以下在计算空间复杂度的时候我都把系统栈（不是数据结构里的栈）所占空间算进去。
子集问题分析：
- 时间复杂度：O(2^n)，因为每一个元素的状态无外乎取与不取，所以时间复杂度为O(2^n)
- 空间复杂度：O(n)，递归深度为n，所以系统栈所用空间为O(n)，每一层递归所用的空间都是常数级别，注意代码里的result和path都是全局变量，就算是放在参数里，传的也是引用，并不会新申请内存空间，最终空间复杂度为O(n)
排列问题分析：
- 时间复杂度：O(n!)，这个可以从排列的树形图中很明显发现，每一层节点为n，第二层每一个分支都延伸了n-1个分支，再往下又是n-2个分支，所以一直到叶子节点一共就是 n * n-1 * n-2 * ..... 1 = n!。
- 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。
组合问题分析：
- 时间复杂度：O(2^n)，组合问题其实就是一种子集的问题，所以组合问题最坏的情况，也不会超过子集问题的时间复杂度。
- 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。
N皇后问题分析：
- 时间复杂度：O(n!) ，其实如果看树形图的话，直觉上是O(n^n)，但皇后之间不能见面所以在搜索的过程中是有剪枝的，最差也就是O（n!），n!表示n * (n-1) * .... * 1。
- 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。
解数独问题分析：
- 时间复杂度：O(9^m) , m是'.'的数目。
- 空间复杂度：O(n^2)，递归的深度是n^2
一般说道回溯算法的复杂度，都说是指数级别的时间复杂度