【题解 && 树形dp &&拆位】 树上异或

「KDOI-06-S」树上异或

题目描述

给定一棵包含 n n n 个节点的树,第 i i i 个点有一个点权 x i x_i xi

对于树上的 n − 1 n-1 n1 条边,每条边选择删除或不删除,有 2 n − 1 2^{n-1} 2n1 种选择是否删除每条边的方案。

对于每种删除边的方案,设删除后的图包含 k k k 个连通块,定义这个方案的权值为图中连通块点权异或和的乘积。形式化地说,若这张图包含连通块 C 1 , C 2 , … , C k C_1,C_2,\ldots,C_k C1,C2,,Ck,其中 C i C_i Ci 是第 i i i 个连通块的顶点集合,设 v i = ⨁ u ∈ C i x u v_i=\bigoplus_{u\in C_i} x_u vi=uCixu,则这个方案的权值为 v 1 × v 2 × ⋯ × v k v_1\times v_2\times \cdots\times v_k v1×v2××vk

求这 2 n − 1 2^{n-1} 2n1 种删除边的方案的权值之和,答案对 998   244   353 998~244~353 998 244 353 取模。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入的第一行包含一个正整数 n n n,表示树的节点个数。

第二行 n n n 个非负整数 x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,\ldots,x_n x1,x2,,xn,表示每个点的点权。

第三行 n − 1 n-1 n1 个正整数 f 2 , f 3 , … , f n f_2,f_3,\ldots,f_n f2,f3,,fn,表示节点 i i i f i f_{i} fi 之间有一条无向边。

输出格式

输出到标准输出。

输出包含一行一个整数,表示所有 2 n − 1 2^{n-1} 2n1 种删除边的方案的权值之和,答案对 998   244   353 998~244~353 998 244 353 取模。

样例 #1

样例输入 #1

3
1 2 3
1 1

样例输出 #1

19

样例 #2

样例输入 #2

5
3 4 5 6 7
1 1 2 2

样例输出 #2

5985

提示

【样例解释 #1】

有四种删除边的方案:

  • 不删除边:图有且仅有一个连通块,权值为 1 ⊕ 2 ⊕ 3 = 0 1\oplus2\oplus3=0 123=0
  • 删除 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 一条边:图包含两个连通块,权值为 ( 1 ⊕ 3 ) × 2 = 4 (1\oplus3)\times2=4 (13)×2=4
  • 删除 ( 1 , 3 ) (1,3) (1,3) 一条边:图包含两个连通块,权值为 ( 1 ⊕ 2 ) × 3 = 9 (1\oplus2)\times3=9 (12)×3=9
  • 删除 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) ( 1 , 3 ) (1,3) (1,3) 两条边:图包含三个连通块,权值为 1 × 2 × 3 = 6 1\times2\times3=6 1×2×3=6

所有方案权值的总和为 0 + 4 + 9 + 6 = 19 0+4+9+6=19 0+4+9+6=19

【样例 #3】

见选手目录下的 xor/xor3.inxor/xor3.ans

这个样例满足测试点 6 ∼ 7 6\sim7 67 的条件限制。

【样例 #4】

见选手目录下的 xor/xor4.inxor/xor4.ans

这个样例满足测试点 8 8 8 的条件限制。

【样例 #5】

见选手目录下的 xor/xor5.inxor/xor5.ans

这个样例满足测试点 9 9 9 的条件限制。

【样例 #6】

见选手目录下的 xor/xor6.inxor/xor6.ans

这个样例满足测试点 19 ∼ 21 19\sim21 1921 的条件限制。


【数据范围】

对于所有数据保证: 1 ≤ n ≤ 5 × 1 0 5 1\leq n\leq5\times10^5 1n5×105 0 ≤ x i ≤ 1 0 18 0\leq x_i\leq10^{18} 0xi1018 1 ≤ f i < i 1\leq f_i1fi<i

测试点编号 n ≤ n\leq n x i x_i xi 特殊性质
1 ∼ 2 1\sim2 12 12 12 12 ≤ 1 0 9 \leq10^9 109
3 3 3 2000 2000 2000 = 1 =1 =1
4 4 4 1 0 5 10^5 105 = 1 =1 =1 A
5 5 5 1 0 5 10^5 105 = 1 =1 =1 B
6 ∼ 7 6\sim7 67 1 0 5 10^5 105 = 1 =1 =1
8 8 8 1 0 5 10^5 105 ≤ 7 \leq7 7 A
9 9 9 1 0 5 10^5 105 ≤ 7 \leq7 7 B
10 ∼ 11 10\sim11 1011 1 0 5 10^5 105 ≤ 7 \leq7 7
12 ∼ 16 12\sim16 1216 200 200 200 ≤ 8191 \leq8191 8191
17 17 17 1 0 5 10^5 105 ≤ 1 0 9 \leq10^9 109 A
18 18 18 1 0 5 10^5 105 ≤ 1 0 9 \leq10^9 109 B
19 ∼ 21 19\sim21 1921 1 0 5 10^5 105 ≤ 1 0 9 \leq10^9 109
22 ∼ 25 22\sim25 2225 5 × 1 0 5 5\times10^5 5×105 ≤ 1 0 18 \leq10^{18} 1018
  • 特殊性质 A:保证对于任意 1 < i ≤ n 1< i\le n 1<in f i = i − 1 f_i=i-1 fi=i1
  • 特殊性质 B:保证对于任意 1 < i ≤ n 1< i\le n 1<in f i = 1 f_i=1 fi=1

【提示】

⊕ \oplus 表示按位异或运算。

本题输入输出量较大,请使用适当的 I/O 方式。

请注意常数因子对程序运行效率产生的影响。


分析:

树上问题一下子不好分析,我们首先从链的问题来考虑
一一枚举所有的断边情况,时间复杂度是 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n),显然爆炸

我们考虑dp
f i f_i fi表示第i个点的答案( ∑ ∏ \sum\prod ∑∏)
我们考虑枚举前面的断边,
f i = ∑ f j ∗ ( s i x o r s j ) f_i=\sum f_j*(s_i xor s_j) fi=fj(sixorsj)

这样 O ( n 2 ) O(n_2) O(n2)就能把问题全部解决,但是还是不够

怎么办?
我们考虑拆位
g i , j , 0 / 1 g_{i,j,0/1} gi,j,0/1表示第i个点,i所在的联通块的点权二进制的第j位为0/1时,与i所在连通块断开的连通块的答案是多少

对于当前边,我们有断和不断两个选择,如果不断,那么i的前一个点也包含在了i所在的连通块上,需要根据情况去转移对应点的01值,如果当前边断掉,那么前一个点的二进制值就当做0来考虑

于是我们进行以下转移:
【题解 && 树形dp &&拆位】 树上异或_第1张图片

感谢大佬的博客
而后f加起来即可


#include
using namespace std;

#define ll long long

ll Mo = 998244353;

const int N = 5e5+10;
int n;
ll a[N],f[N],g[N][64][2];
struct Node{
	int y,Next;
}e[2*N];
int len , Linkk[N];

#define gc getchar()
ll read(){
	ll s = 0 , ff = 0; char ch = gc;
	while (ch < '0' || ch > '9') ff|=ch == '-' , ch = gc;
	while (ch >= '0' && ch <= '9') s = s*10+ch-48 , ch = gc;
	return ff?-s:s;
} 

void Insert(int x,int y){
	e[++len] = (Node){y,Linkk[x]};
	Linkk[x] = len;
}

void Dfs(int x,int faa){
	for (int i = 0; i < 64; i++){
		int xx = (a[x]>>i)&1;
		g[x][i][xx] = 1;
	}
	for (int j = Linkk[x]; j; j = e[j].Next){
		int y = e[j].y;
		if (y == faa) continue;
		Dfs(y,x);
		for (int i = 0; i < 64; i++){
			int t0 = g[x][i][0] , t1 = g[x][i][1];
			g[x][i][0] = (t0*((g[y][i][0]+f[y]))+t1*g[y][i][1])%Mo;
			g[x][i][1] = (t1*((g[y][i][0]+f[y]))+t0*g[y][i][1])%Mo;
		}
	}
	for (int i = 0; i < 64; i++)
	  f[x] = (f[x]+(1ll<<i)%Mo*g[x][i][1])%Mo;
	return;
}

signed main(){
	n = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
	for (int i = 2,x; i <= n; i++)
	  x = read(),Insert(i,x),Insert(x,i);
	Dfs(1,0);
	printf("%lld",f[1]%Mo);
	return 0;
}

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