【题解 && 树形dp &&拆位】 树上异或

「KDOI-06-S」树上异或

题目描述

给定一棵包含 $n$ 个节点的树，第 $i$ 个点有一个点权 $x_i$。

对于树上的 $n-1$ 条边，每条边选择删除或不删除，有 $2^{n-1}$ 种选择是否删除每条边的方案。

对于每种删除边的方案，设删除后的图包含 $k$ 个连通块，定义这个方案的权值为图中连通块点权异或和的乘积。形式化地说，若这张图包含连通块 $C_1,C_2,\dots ,C_k$，其中 $C_i$ 是第 $i$ 个连通块的顶点集合，设 $v_i={⨁}_{u\in C_i}{x}_u$，则这个方案的权值为 $v_1\times v_2\times \cdots \times v_k$。

求这 $2^{n-1}$ 种删除边的方案的权值之和，答案对 $998244353$ 取模。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入的第一行包含一个正整数 $n$，表示树的节点个数。

第二行 $n$ 个非负整数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，表示每个点的点权。

第三行 $n-1$ 个正整数 $f_2,f_3,\dots ,f_n$，表示节点 $i$ 与 $f_i$ 之间有一条无向边。

输出格式

输出到标准输出。

输出包含一行一个整数，表示所有 $2^{n-1}$ 种删除边的方案的权值之和，答案对 $998244353$ 取模。

样例 #1

样例输入 #1

3
1 2 3
1 1

样例输出 #1

19

样例 #2

样例输入 #2

5
3 4 5 6 7
1 1 2 2

样例输出 #2

5985

提示

【样例解释 #1】

有四种删除边的方案：

• 不删除边：图有且仅有一个连通块，权值为 $1\oplus 2\oplus 3=0$。
• 删除 $(1,2)$ 一条边：图包含两个连通块，权值为 $(1\oplus 3)\times 2=4$。
• 删除 $(1,3)$ 一条边：图包含两个连通块，权值为 $(1\oplus 2)\times 3=9$。
• 删除 $(1,2)$，$(1,3)$ 两条边：图包含三个连通块，权值为 $1\times 2\times 3=6$。

所有方案权值的总和为 $0+4+9+6=19$。

【样例 #3】

见选手目录下的 xor/xor3.in 与 xor/xor3.ans。

这个样例满足测试点 $6\sim 7$ 的条件限制。

【样例 #4】

见选手目录下的 xor/xor4.in 与 xor/xor4.ans。

这个样例满足测试点 $8$ 的条件限制。

【样例 #5】

见选手目录下的 xor/xor5.in 与 xor/xor5.ans。

这个样例满足测试点 $9$ 的条件限制。

【样例 #6】

见选手目录下的 xor/xor6.in 与 xor/xor6.ans。

这个样例满足测试点 $19\sim 21$ 的条件限制。

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【数据范围】

对于所有数据保证：$1\le n\le 5\times 10^5$，$0\le x_i\le 10^{18}$，$1\le f_i<i$。

测试点编号	$n\le$	$x_i$	特殊性质
$1\sim 2$	$12$	$\le 10^9$	无
$3$	$2000$	$=1$	无
$4$	$10^5$	$=1$	A
$5$	$10^5$	$=1$	B
$6\sim 7$	$10^5$	$=1$	无
$8$	$10^5$	$\le 7$	A
$9$	$10^5$	$\le 7$	B
$10\sim 11$	$10^5$	$\le 7$	无
$12\sim 16$	$200$	$\le 8191$	无
$17$	$10^5$	$\le 10^9$	A
$18$	$10^5$	$\le 10^9$	B
$19\sim 21$	$10^5$	$\le 10^9$	无
$22\sim 25$	$5\times 10^5$	$\le 10^{18}$	无

• 特殊性质 A：保证对于任意 $1<i\le n$，$f_i=i-1$。
• 特殊性质 B：保证对于任意 $1<i\le n$，$f_i=1$。

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【提示】

$\oplus$ 表示按位异或运算。

本题输入输出量较大，请使用适当的 I/O 方式。

请注意常数因子对程序运行效率产生的影响。

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分析：

树上问题一下子不好分析，我们首先从链的问题来考虑
一一枚举所有的断边情况，时间复杂度是$O(2^n)$，显然爆炸

我们考虑dp
设$f_i$表示第i个点的答案($\sum \prod$)
我们考虑枚举前面的断边,
$f_i=\sum f_j\ast (s_{i}xor{s}_j)$

这样$O(n_2)$就能把问题全部解决，但是还是不够

怎么办？
我们考虑拆位
设 $g_{i,j,0/1}$表示第i个点，i所在的联通块的点权二进制的第j位为0/1时，与i所在连通块断开的连通块的答案是多少

对于当前边，我们有断和不断两个选择，如果不断，那么i的前一个点也包含在了i所在的连通块上，需要根据情况去转移对应点的01值，如果当前边断掉，那么前一个点的二进制值就当做0来考虑

于是我们进行以下转移：

感谢大佬的博客
而后f加起来即可

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#include
using namespace std;

#define ll long long

ll Mo = 998244353;

const int N = 5e5+10;
int n;
ll a[N],f[N],g[N][64][2];
struct Node{
	int y,Next;
}e[2*N];
int len , Linkk[N];

#define gc getchar()
ll read(){
	ll s = 0 , ff = 0; char ch = gc;
	while (ch < '0' || ch > '9') ff|=ch == '-' , ch = gc;
	while (ch >= '0' && ch <= '9') s = s*10+ch-48 , ch = gc;
	return ff?-s:s;
} 

void Insert(int x,int y){
	e[++len] = (Node){y,Linkk[x]};
	Linkk[x] = len;
}

void Dfs(int x,int faa){
	for (int i = 0; i < 64; i++){
		int xx = (a[x]>>i)&1;
		g[x][i][xx] = 1;
	}
	for (int j = Linkk[x]; j; j = e[j].Next){
		int y = e[j].y;
		if (y == faa) continue;
		Dfs(y,x);
		for (int i = 0; i < 64; i++){
			int t0 = g[x][i][0] , t1 = g[x][i][1];
			g[x][i][0] = (t0*((g[y][i][0]+f[y]))+t1*g[y][i][1])%Mo;
			g[x][i][1] = (t1*((g[y][i][0]+f[y]))+t0*g[y][i][1])%Mo;
		}
	}
	for (int i = 0; i < 64; i++)
	  f[x] = (f[x]+(1ll<<i)%Mo*g[x][i][1])%Mo;
	return;
}

signed main(){
	n = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
	for (int i = 2,x; i <= n; i++)
	  x = read(),Insert(i,x),Insert(x,i);
	Dfs(1,0);
	printf("%lld",f[1]%Mo);
	return 0;
}