为什么可以用“初等行变化”求逆矩阵

为什么可以用初等行变化来求逆矩阵呢？

其实不仅初等行变化可以求逆矩阵，初等列变化也可以求矩阵，但是不能同时初等行变化和初等列变化。

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我们知道用初等行变化求矩阵是（A｜E），对A和E同时初等行变化，当A变成E时E就变成了A的逆矩阵。
想知道怎么证明的，你得先知道什么是置换矩阵，一个单位矩阵E，你对他进行了n次初等行变化变成了P，此时你将它左乘于一个矩阵B，PB得到的结果是对B进行了同样的初等行变化，如果是右乘于B，BP，得到的结果是对B进行了同样的初等列变化，为什么会这样呢？
这里就不解释了，你可以看我博客内的文章，关于矩阵的乘法运算法则为什么是那么定义的，这个就是根据乘法法则推导出来的。

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所以，我们每一次对（A｜E）做初等行变化，就是对A乘了n个置换矩阵P，P1P2…PnA=E，我们把P1P2…*Pn=P他们的乘积为P，我们对A做了n次初等行变化相当于乘于了一个P，当然这个P就是A的逆矩阵，那么我们不是同时也对E做了n次初等列变化吗，所以，对E的初等行变化也等价于PE=P，所以这P不是直接出来了；

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初等列变化也是，相当于（AP｜EP）右乘于他们了，同样可以得到答案，但是不能同时初等行、列变化一起操作，如果一起的话就是，（P1AP2 | P1EP2)这样，我们只能求得P1P2，但是P1AP2=E是求不出A的逆的，也不符合公式；如果P1P2是逆，P1AP2= P1P2A=AP1P2应当是成立的，但是不成立。