NOIP2023模拟9联测30 高爸

题目大意

$\text{Shintaro}$有$n$条龙，第$i$条龙的力量值为$x_i$。现在$\text{Shintaro}$想与这些龙交朋友。

$\text{Shintaro}$会使用以下两种魔法来平衡龙的力量值（使某些龙的力量值相等），以免与他交朋友的龙互相打架。

强化魔法：消耗$a$点$mp$，使某条龙的力量值增加$1$点。

弱化魔法：消耗$b$点$mp$，使某条龙的力量值降低$1$点。

在第$i$次，$\text{Shintaro}$想与前$i$条龙交朋友$(1\le i\le n)$。我们有很多种使用魔法的方案，使前$i$条龙力量值相等。请你找到消耗$mp$点数最小的方案，并输出$mp$点数。

$1\le n\le 10^5,1\le a,b\le 10^4,1\le x_i\le 10^9$

题解

我们考虑将每条龙的力量值取到何值时代价最小。

对于每一个$i(1\le i\le n)$，将前$i$条龙龙放在数轴上，取一个点$x$，设在$x$之前有$k$条龙，则在$x$之后有$i-k$条龙。那么，我们将$x$往右移一个单位，如果移动后$x$的左边和右边的龙的数量不变，则代价会增加$ka-(i-k)b$。当$ka-(i-k)b<0$时，显然将$x$往右移一个单位是最优的，我们可以一直右移$x$，直到$x$在第$k+1$条龙对应的点上，然后继续判断新的$k$是否满足$ka-(i-k)b<0$，再继续右移，直到不满足$ka-(i-k)b<0$，此时如果再右移肯定不优。

也就是说，我们要找到第一个$k$使得$ka-(i-k)b\ge 0$，即$k\ge \frac{ib}{a+b}$。因为$k$为整数，所以$k=\lceil \frac{ib}{a+b}\rceil$，那么取第$k$条龙的力量值为所有龙最终的力量值即可使代价最小（这里的第$k$条龙指数轴上从小到大的第$k$条龙）。

我们把龙的力量值离散化一下，然后用权值线段树维护前$i$条龙的力量值，还要维护线段树上的每个节点对应的区间中有多少条龙。每次用上面的方法求出$k$，在线段树中求前$i$条龙中第$k$小的龙的力量值，再求出其他龙的力量值变为第$k$小的龙的力量值的代价之和即可。

时间复杂度为$O(n\log n)$。

code

#include
#define lc k<<1
#define rc k<<1|1
using namespace std;
const int N=100000;
int n,k,v[N+5],num[N+5],hv[4*N+5];
long long a,b,sum,all,ans,tr[4*N+5];
void ch(int k,int l,int r,int x){
	if(l==r&&l==x){
		++hv[k];
		tr[k]+=num[x];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) ch(lc,l,mid,x);
	else ch(rc,mid+1,r,x);
	hv[k]=hv[lc]+hv[rc];
	tr[k]=tr[lc]+tr[rc];
}
int gtnum(int k,int l,int r,int x){
	if(l==r) return l;
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=hv[lc]) return gtnum(lc,l,mid,x);
	else return gtnum(rc,mid+1,r,x-hv[lc]);
}
void find(int k,int l,int r,int x,int y){
	if(x>y) return;
	if(l>=x&&r<=y){
		all+=hv[k];
		sum+=tr[k];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) find(lc,l,mid,x,y);
	if(y>mid) find(rc,mid+1,r,x,y);
}
int main()
{
//	freopen("c.in","r",stdin);
//	freopen("c.out","w",stdout);
	scanf("%d%lld%lld",&n,&a,&b);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&v[i]);num[i]=v[i];
	}
	sort(num+1,num+n+1);
	int gs=unique(num+1,num+n+1)-num-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		v[i]=lower_bound(num+1,num+gs+1,v[i])-num;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ch(1,1,n,v[i]);
		k=(i*b+a+b-1)/(a+b);
		int tmp=gtnum(1,1,n,k);
		sum=all=0;find(1,1,n,1,tmp-1);
		ans=(1ll*all*num[tmp]-sum)*a;
		sum=all=0;find(1,1,n,tmp+1,n);
		ans+=(sum-1ll*all*num[tmp])*b;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}