LeetCode 62. 不同路径【c++/java详细题解】

1、题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

2、思路

(动态规划) $O(m\ast n)$

状态表示： f[i,j]表示从(0,0)走到(i,j)的所有不同路径的方案数。那么，f[m-1][n-1]就表示从网格左上角到网格右下角的所有不同路径的方案数，即为答案。

状态转移：

由于限制了只能向下走或者向右走，因此到达(i,j)有两条路径

• 从上方转移过来，f[i][j] = f[i-1][j]；
• 从左方转移过来，f[i][j] = f[i][j-1] ;

因此，状态计算方程为： f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1] ， 将向右和向下两条路径的方案数相加起来。

初始化条件： f[0][0] = 1，从(0,0)到达(0,0)只有一条路径。

分析图示：

时间复杂度分析： $O(m\ast n)$，其中 $m$和 $n$分别是网格的行数和列数 。

3、c++代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>>f(m, vector<int>(n,0));
        for(int i = 0; i < m; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++)
            if(!i && !j) f[i][j] = 1; //初始化
            else{
                if(i) f[i][j] += f[i - 1][j];  //如果可以从上方转移过来
                if(j) f[i][j] += f[i][j - 1];  //如果可以从左方转移过来
            }
        return f[m - 1][n - 1];
    }
};

4、java代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] f = new int[m][n]; 
        for(int i = 0; i < m; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++)
            if(i == 0 && j == 0) f[i][j] = 1; //初始化
            else{
                if(i != 0) f[i][j] += f[i - 1][j]; //如果可以从上方转移过来
                if(j != 0) f[i][j] += f[i][j - 1]; //如果可以从左方转移过来
            }
        return f[m - 1][n - 1];
    }
}

原题链接： 62. 不同路径