彻底理解递归

前言

最近跨界了解了一下后端的知识，对数据库加索引可以带来显著提速的现象感到很神奇（原谅我如此的土鳖）。看原理是用到了B+数这个数据结构...所以出来混都是要还的。

鉴于欠的知识比较多，一步步来，这次的主题是递归。没办法毕竟自己太菜，得一点点补。

正文

一、入门的阶乘

提到递归，我猜大多数同学第一印象就是：f(n) = f(n-1) * n 阶乘。所以咱们今天就先从最基础的阶乘来入手。

阶乘是一个非常线性的问题。用我们的大脑来构建调用栈也很容易和清晰。函数调用单项的一层层递下去，然后通过最终的return条件，再一层层的return回去（归）。

递归实现的阶乘很好理解，那咱们就趁热打铁总结一下递归的特点：

• 1. 一个问题的解可以分解为多个相同类型子问题
  • 咱们阶乘中f(n-1) * n就是抽象出来的子问题。而且无论存在多少种入参的情况，子问题解题思路是一致的。
• 2. 存在递归终止条件
  • 子问题可能有很多，如果无限重复下去，那么就是栈溢出了，所以需要有终止条件。

二、难度进阶

有了阶乘的入门，咱们来稍稍提升一些难度：假如这里有 n 个台阶，每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶，请问走这 n 个台阶有多少种走法？

PS：当年我看到这个题目是非常蒙蔽的，每一步都有两种选择，很难搞哇。

因为本篇章的主角是递归，所以咱们依旧用递归的思路去解题。咱先来思考一下，这题是不是比阶乘难？答案是肯定的。

那它比阶乘难在哪呢？难在它不再是线性的问题！ 每一步都有两个不同的选择。

咱不管这么多，先套递归的特点：1、找子问题，构建合适的递归公式；2、找到合适的终止条件。

很多教程都是先找子问题构建递归公式，但是这次咱们反过来先找终止条件 。

1、找终止条件

既然是找终止条件，那咱们就得明确题目中的终止是啥，就是走完台阶，最终走完台阶的方式只有两种：要么是跨 1 个台阶走完，要么是跨 2 个台阶走完。

好，那咱们的终止条件其实就出来了，假设n表示当前还剩多少阶台阶，返回值表示有几种走法：

• if(n = 1) return 1；此时只有一种走法；
• if(n = 2) return 2；此时有两种走法。

咱们找到了终止条件，这里停下来咱们想一个问题：咱们终止条件找的是如果只剩1个 / 2个台阶时的走法。

那么我们把1/2这两个实际的参数抽象一下，是不是可以转化为我们再找n - 1个台阶的走法和n - 2个台阶的走法。(如果此时n = 3，就得到了我们终止条件的答案)

2、构建合适的递归公式

通过上边找终止条件的过程，抽象一下就会发现：我们本质就是在寻找n - 1个台阶的走法和n - 2个台阶的走法一共有多少种。

所以子问题就出来了：基于当前台阶数，走一阶有多少种走法 + 走两阶有多少种走法。（换成伪码就是f(n) = f(n-1)+f(n-2)）

注意（这句话一定要看） ：这里千万不要陷进去，也就是不要基于当前去思考：有多少种走法！ 因为这不是当前子问题该考虑的事情，这个问题的答案会在归的过程由前一个子问题回答 。

如果非要思考，也没关系。我贴张图帮助你去思考：

image.png

我着重圈了两个地方：

一个是不满足终止条件“递的过程”

该行为会按照我们的递归公式，逐步递出全部可能性，也就是为什么想告知大家不要陷进去。

对于咱们这个问题，如果想要展开递的过程，那么就会像二叉树一样不断延展开来，然而这个展开的过程对于我们来说没有任何意义，因为这本身就是重复的过程，这种事不应该是我们人脑该做的。

另一个是满足终止条件“归的过程”

归的过程说白了就是：某一层子问题找到了答案，逐层往上告知的过程。

这一步其实就是解释了，递的过程为什么不要钻牛角尖，去基于当前去想到底有多少种走法。因为一旦想要知道答案，就要展开所有可能。

然而我们的每一层的答案都会由下一层子问题在归的过程中解答。

解题代码

所以这个题目的代码就很简单了：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

三、递归的优缺点

硬说递归的有点，个人感觉那就是代码量少...但是同样也是它的缺点，代码越简单理解成本就越高。当然这个问题不痛不痒。

这一Part咱们主要说一下递归比较关键两个问题：

1、避免堆栈溢出

这一点还是比较好理解的，因为一旦终止条件有问题，那么无限递归就会造成栈溢出。

Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError

2、重复执行

这个问题算是递归中比较重点的缺点。借助下面这张图，我圈起来的f(4)、f(3)，很明显看到它们被重复执行了很多遍。

图片来自于：极客时间《数据结构于算法之美》

当然解决起来也很简单，那就是加缓存。每次执行的时候先去缓存里读，没有的话再执行递的过程。

四、非递归实现

这里有一个非递归的实现，同样也来自 极客时间《数据结构于算法之美》。代码是这样的：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  int ret = 0;
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}

这代码比较巧妙，篇幅有限就不具体展开。

这里留个引子供大家结合思考：把这段代码和上边那张重复执行的图，结合在一起思考。

尾声

唉...自己是真的菜。

最后推荐一下极客时间《数据结构于算法之美》，有兴趣的同学可以用扫码购买。