求矩阵高次幂的两种“另类”方法

文章目录

  • 【方法一】运用哈密顿凯莱定理
    • 相关例题
  • 【方法二】运用特征方程
    • 二阶矩阵求解通法
    • 三阶矩阵求解通法
    • 相关例题

市面上许多资料给出的计算矩阵高次幂的方法,无外乎有这几种:

  • 分块矩阵求解高次幂;
  • 先求低次方幂,然后通过找规律推出通项公式;
  • 将矩阵拆分为秩 1 矩阵和数量矩阵,使用秩 1 矩阵的性质求解;
  • 将矩阵拆分为幂 0 0 0 矩阵和数量矩阵进行求解;
  • 将矩阵进行相似对角化,然后利用 A = P Λ P − 1 A = P \Lambda P^{-1} A=PΛP1 计算矩阵高次幂。

下面介绍计算矩阵高次幂两种比较“另类”的方法:(1)运用哈密顿凯莱定理;(2)运用特征方程。(但是依然建议采用常规解法,上述两种解法不推荐首先使用!)

【方法一】运用哈密顿凯莱定理

【哈密顿凯莱定理】设 A A A n n n 阶矩阵,其特征多项式为 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = a n λ n + . . . + a 1 λ + a 0 f(\lambda) = |\lambda E - A| = a_n \lambda^n + ... + a_1 \lambda + a_0 f(λ)=λEA=anλn+...+a1λ+a0,记 f ( A ) = a n A n + . . . + a 1 A + a 0 E f(A) = a_n A^n + ... + a_1 A + a_0 E f(A)=anAn+...+a1A+a0E,则有 f ( A ) = O f(A) = O f(A)=O


相关例题

【例 1】已知 A = [ 0 1 1 0 ] A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} A=[0110],求 A n A^n An

【解】特征多项式为 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ 2 − 1 f(\lambda) = |\lambda E - A| = \lambda^2 - 1 f(λ)=λEA=λ21,则 f ( A ) = A 2 − E = O f(A) = A^2 - E = O f(A)=A2E=O,即 A 2 = E A^2 = E A2=E

n = 2 k n=2k n=2k 时, A 2 k = ( A 2 ) k = E k = E A^{2k} = (A^2)^{k} = E^k = E A2k=(A2)k=Ek=E

n = 2 k + 1 n=2k+1 n=2k+1 时, A 2 k + 1 = ( A 2 ) k A = E k A = A A^{2k+1} = (A^2)^{k} A = E^k A = A A2k+1=(A2)kA=EkA=A


【例 2】已知 A = [ 3 4 4 − 3 ] A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} A=[3443],求 A n A^n An

【解】特征多项式为 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ 2 − 25 f(\lambda) = |\lambda E - A| = \lambda^2 - 25 f(λ)=λEA=λ225,则 f ( A ) = A 2 − 25 E = O f(A) = A^2 - 25E = O f(A)=A225E=O,即 A 2 = 25 E A^2 = 25E A2=25E

n = 2 k n=2k n=2k 时, A 2 k = ( A 2 ) k = ( 25 E ) k = 2 5 k E A^{2k} = (A^2)^{k} = (25E)^k = 25^k E A2k=(A2)k=(25E)k=25kE

n = 2 k + 1 n=2k+1 n=2k+1 时, A 2 k + 1 = ( A 2 ) k A = ( 25 E ) k A = 2 5 k A A^{2k+1} = (A^2)^{k} A = (25E)^k A = 25^k A A2k+1=(A2)kA=(25E)kA=25kA


【例 3】已知 A = [ 1 0 1 0 2 0 1 0 1 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} A= 101020101 ,求 A n − 2 A n − 1 A^n - 2A^{n-1} An2An1 A n A^n An

【解】特征多项式为 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ ( λ − 2 ) 2 f(\lambda) = |\lambda E - A| = \lambda (\lambda - 2)^2 f(λ)=λEA=λ(λ2)2,则 f ( A ) = A ( A − 2 E ) 2 = O f(A) = A(A-2E)^2 = O f(A)=A(A2E)2=O

于是通过递推得

A ( A − 2 E ) 2 = O ⇒ ( A 2 − 2 A ) ( A − 2 E ) = O ⇒ ( A 3 − 2 A 2 ) − 2 ( A 2 − 2 A ) = O ⇒ A 3 − 2 A 2 = 2 ( A 2 − 2 A ) ⇒ . . . ⇒ A n − 2 A n − 1 = 2 n − 1 ( A 2 − 2 A ) = O ⇒ A n = 2 A n − 1 ⇒ . . . ⇒ A n = 2 n − 1 A \begin{aligned} & A(A-2E)^2 = O \\ \Rightarrow & (A^2 - 2A) (A-2E) = O \\ \Rightarrow & (A^3 - 2A^2) - 2(A^2 - 2A) = O \\ \Rightarrow & A^3 - 2A^2 = 2(A^2 - 2A) \\ \Rightarrow & ... \\ \Rightarrow & A^{n} - 2A^{n-1} = 2^{n-1}(A^2 - 2A) = O \\ \Rightarrow & A^{n} = 2A^{n-1} \\ \Rightarrow & ... \\ \Rightarrow & A^{n} = 2^{n-1}A \\ \end{aligned} A(A2E)2=O(A22A)(A2E)=O(A32A2)2(A22A)=OA32A2=2(A22A)...An2An1=2n1(A22A)=OAn=2An1...An=2n1A


【例 4】已知 A = [ 0 1 0 − 1 0 1 0 − 1 0 ] A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} A= 010101010 ,求 A 2017 A^{2017} A2017 A n A^{n} An

【解】特征多项式为 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ ( λ 2 + 2 ) f(\lambda) = |\lambda E - A| = \lambda (\lambda^2 + 2) f(λ)=λEA=λ(λ2+2),则 f ( A ) = A ( A 2 + 2 E ) = O f(A) = A(A^2+2E) = O f(A)=A(A2+2E)=O,即 A 3 = − 2 A A^3 = -2A A3=2A,即 A 2 A = − 2 A A^2 A = -2A A2A=2A

于是通过递推得到 A 2017 = ( A 2 ) 1008 A = 2 1008 A A^{2017} = (A^2)^{1008}A = 2^{1008} A A2017=(A2)1008A=21008A

一般地,当 A B = c B AB = cB AB=cB 时,有 A n B = c n B A^nB = c^nB AnB=cnB

n = 2 k n=2k n=2k 时, A 2 k = ( − 2 ) A 2 k − 2 = . . . = ( − 2 ) k − 1 A 2 A^{2k} = (-2)A^{2k-2} = ... = (-2)^{k-1}A^2 A2k=(2)A2k2=...=(2)k1A2

n = 2 k + 1 n=2k+1 n=2k+1 时, A 2 k + 1 = A 2 k A = . . . = ( − 2 ) k − 1 A 3 = ( − 2 ) k A A^{2k+1} = A^{2k}A = ... = (-2)^{k-1}A^3 = (-2)^k A A2k+1=A2kA=...=(2)k1A3=(2)kA


【方法二】运用特征方程

二阶矩阵求解通法

A A A 2 2 2 阶矩阵,其特征值为 λ 1 , λ 2 \lambda_1, \lambda_2 λ1,λ2,分两种情况:

(1)若 λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1 \neq \lambda_2 λ1=λ2,则通解设为 A n = λ 1 n P + λ 2 n Q A^n = \lambda_1^n P + \lambda_2^n Q An=λ1nP+λ2nQ n ≥ k n \geq k nk 成立, k k k 0 0 0 特征值的重数),其中 P , Q P,Q P,Q 由以下方程组确定

{ A 0 = λ 1 0 P + λ 2 0 Q A 1 = λ 1 1 P + λ 2 1 Q \begin{cases} A^0 = \lambda_1^0 P + \lambda_2^0 Q \\ A^1 = \lambda_1^1 P + \lambda_2^1 Q \end{cases} {A0=λ10P+λ20QA1=λ11P+λ21Q

【提醒】注意成立条件 n ≥ k n \geq k nk,若 0 特征值重数 k ≥ 1 k \geq 1 k1,则不需要求解以上全部方程:

  • k = 1 k=1 k=1,则只需求解最后那个方程即可(第一个方程是不成立的);
  • k = 2 k=2 k=2,则 A n = O A^n = O An=O n ≥ 2 n \geq 2 n2 成立)。

下面的情况也是一样的。

(2)若 λ 1 = λ 2 \lambda_1 = \lambda_2 λ1=λ2,则通解设为 A n = λ 1 n ( P + n Q ) A^n = \lambda_1^n (P + nQ) An=λ1n(P+nQ) n ≥ k n \geq k nk 成立, k k k 0 0 0 特征值的重数),其中 P , Q P,Q P,Q 由以下方程组确定

{ A 0 = λ 1 0 ( P + 0 Q ) A 1 = λ 1 1 ( P + 1 Q ) \begin{cases} A^0 = \lambda_1^0 (P + 0Q) \\ A^1 = \lambda_1^1 (P + 1Q) \end{cases} {A0=λ10(P+0Q)A1=λ11(P+1Q)

三阶矩阵求解通法

A A A 3 3 3 阶矩阵,其特征值为 λ 1 , λ 2 , λ 3 \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 λ1,λ2,λ3,分三种情况:

(1)若 λ 1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 \lambda_1 \neq \lambda_2 \neq \lambda_3 λ1=λ2=λ3,则通解设为 A n = λ 1 n P + λ 2 n Q + λ 3 n R A^n = \lambda_1^n P + \lambda_2^n Q + \lambda_3^n R An=λ1nP+λ2nQ+λ3nR n ≥ k n \geq k nk 成立, k k k 0 0 0 特征值的重数),其中 P , Q , R P,Q,R P,Q,R 由以下方程组确定

{ A 0 = λ 1 0 P + λ 2 0 Q + λ 3 0 R A 1 = λ 1 1 P + λ 2 1 Q + λ 3 1 R A 2 = λ 1 2 P + λ 2 2 Q + λ 3 2 R \begin{cases} A^0 = \lambda_1^0 P + \lambda_2^0 Q + \lambda_3^0 R \\ A^1 = \lambda_1^1 P + \lambda_2^1 Q + \lambda_3^1 R \\ A^2 = \lambda_1^2 P + \lambda_2^2 Q + \lambda_3^2 R \end{cases} A0=λ10P+λ20Q+λ30RA1=λ11P+λ21Q+λ31RA2=λ12P+λ22Q+λ32R

【提醒】注意成立条件 n ≥ k n \geq k nk,若 0 特征值重数 k ≥ 1 k \geq 1 k1,则不需要求解以上全部方程:

  • k = 1 k=1 k=1,则只需求解后两个方程即可(第一个方程是不成立的);
  • k = 2 k=2 k=2,则只需求解最后一个方程即可(前两个方程是不成立的);
  • k = 3 k=3 k=3,则 A n = O A^n = O An=O n ≥ 3 n \geq 3 n3 成立)。

下面两种情况也是一样的。

(2)若 λ 1 = λ 2 ≠ λ 3 \lambda_1 = \lambda_2 \neq \lambda_3 λ1=λ2=λ3,则通解设为 A n = λ 1 n ( P + n Q ) + λ 3 n R A^n = \lambda_1^n (P + nQ) + \lambda_3^n R An=λ1n(P+nQ)+λ3nR n ≥ k n \geq k nk 成立, k k k 0 0 0 特征值的重数),其中 P , Q , R P,Q,R P,Q,R 由以下方程组确定

{ A 0 = λ 1 0 ( P + 0 Q ) + λ 3 0 R A 1 = λ 1 1 ( P + 1 Q ) + λ 3 1 R A 2 = λ 1 2 ( P + 2 Q ) + λ 3 2 R \begin{cases} A^0 = \lambda_1^0 (P + 0Q) + \lambda_3^0 R \\ A^1 = \lambda_1^1 (P + 1Q) + \lambda_3^1 R \\ A^2 = \lambda_1^2 (P + 2Q) + \lambda_3^2 R \end{cases} A0=λ10(P+0Q)+λ30RA1=λ11(P+1Q)+λ31RA2=λ12(P+2Q)+λ32R

(3)若 λ 1 = λ 2 = λ 3 \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 λ1=λ2=λ3,则通解设为 A n = λ 1 n ( P + n Q + n 2 R ) A^n = \lambda_1^n (P + nQ + n^2 R) An=λ1n(P+nQ+n2R) n ≥ k n \geq k nk 成立, k k k 0 0 0 特征值的重数),其中 P , Q , R P,Q,R P,Q,R 由以下方程组确定

{ A 0 = λ 1 0 ( P + 0 Q + 0 R ) A 1 = λ 1 1 ( P + 1 Q + 1 R ) A 2 = λ 1 2 ( P + 2 Q + 4 R ) \begin{cases} A^0 = \lambda_1^0 (P + 0Q + 0R) \\ A^1 = \lambda_1^1 (P + 1Q + 1R) \\ A^2 = \lambda_1^2 (P + 2Q + 4R) \end{cases} A0=λ10(P+0Q+0R)A1=λ11(P+1Q+1R)A2=λ12(P+2Q+4R)


相关例题

【例 1】已知 A = [ 3 4 4 − 3 ] A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} A=[3443],求 A n A^n An

【解】特征多项式为 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ 2 − 25 = 0 f(\lambda) = |\lambda E - A| = \lambda^2 - 25 = 0 f(λ)=λEA=λ225=0,解得 λ 1 = − 5 , λ 2 = 5 \lambda_1 = -5, \lambda_2 = 5 λ1=5,λ2=5,则通解设为 A n = 5 n P + ( − 5 ) n Q A^n = 5^n P + (-5)^n Q An=5nP+(5)nQ n ≥ 0 n \geq 0 n0 成立),其中 P , Q P,Q P,Q 由以下方程组确定

{ A 0 = 5 0 P + ( − 5 ) 0 Q A 1 = 5 1 P + ( − 5 ) 1 Q \begin{cases} A^0 = 5^0 P + (-5)^0 Q \\ A^{1} = 5^{1} P + (-5)^{1} Q \end{cases} {A0=50P+(5)0QA1=51P+(5)1Q

解得

{ P = 1 2 E + 1 10 A Q = 1 2 E − 1 10 A \begin{cases} P = \frac{1}{2} E + \frac{1}{10}A \\ Q = \frac{1}{2} E - \frac{1}{10}A \end{cases} {P=21E+101AQ=21E101A

所以

A n = 5 n ( 1 2 E + 1 10 A ) + ( − 5 ) n ( 1 2 E − 1 10 A ) ( n ≥ 0 ) A^n = 5^n (\frac{1}{2} E + \frac{1}{10}A) + (-5)^n (\frac{1}{2} E - \frac{1}{10}A)(n \geq 0) An=5n(21E+101A)+(5)n(21E101A)n0


【例 2】已知 A = [ 1 2 0 1 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} A=[1021],求 A n A^n An

【解】特征多项式为 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = ( λ − 1 ) 2 = 0 f(\lambda) = |\lambda E - A| = (\lambda-1)^2 = 0 f(λ)=λEA=(λ1)2=0,解得 λ 1 = λ 2 = 1 \lambda_1 = \lambda_2 = 1 λ1=λ2=1 A n = 1 n ( P + n Q ) A^n = 1^n (P + nQ) An=1n(P+nQ) n ≥ 0 n \geq 0 n0 成立),其中 P , Q P,Q P,Q 由以下方程组确定

{ A 0 = 1 0 ( P + 0 Q ) A 1 = 1 1 ( P + 1 Q ) \begin{cases} A^0 = 1^0 (P + 0Q) \\ A^1 = 1^1 (P + 1Q) \end{cases} {A0=10(P+0Q)A1=11(P+1Q)

解得

{ P = E Q = A − E \begin{cases} P = E \\ Q = A-E \end{cases} {P=EQ=AE

所以

A n = n A + ( 1 − n ) E ( n ≥ 0 ) A^n = nA + (1-n)E(n \geq 0) An=nA+(1n)En0


【例 3】已知 A = [ 3 0 1 0 1 0 − 4 0 − 1 ] A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & -1 \end{bmatrix} A= 304010101 ,求 A n A^n An

【解】特征多项式为 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = ( λ − 1 ) 3 = 0 f(\lambda) = |\lambda E - A| = (\lambda - 1)^3 = 0 f(λ)=λEA=(λ1)3=0,解得 λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1 \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 1 λ1=λ2=λ3=1,则通解设为 A n = λ 1 n ( P + n Q + n 2 R ) A^n = \lambda_1^n (P + nQ + n^2 R) An=λ1n(P+nQ+n2R) n ≥ 0 n \geq 0 n0 成立),其中 P , Q , R P,Q,R P,Q,R 由以下方程组确定

{ A 0 = 1 0 P A 1 = 1 1 ( P + Q + R ) A 2 = 1 2 ( P + 2 Q + 4 R ) \begin{cases} A^0 = 1^0 P \\ A^{1} = 1^{1} (P + Q + R) \\ A^{2} = 1^{2} (P + 2Q + 4R) \end{cases} A0=10PA1=11(P+Q+R)A2=12(P+2Q+4R)

以下解方程过程省略。


【例 4】已知 A = [ 1 0 1 0 2 0 1 0 1 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} A= 101020101 ,求 A n A^n An

【解】特征多项式为 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ ( λ − 2 ) 2 = 0 f(\lambda) = |\lambda E - A| = \lambda(\lambda - 2)^2 = 0 f(λ)=λEA=λ(λ2)2=0,解得 λ 1 = 0 , λ 2 = λ 3 = 2 \lambda_1 = 0, \lambda_2 = \lambda_3 = 2 λ1=0,λ2=λ3=2,则通解设为 A n = 2 n ( P + n Q ) + 0 n R = 2 n ( P + n Q ) A^n = 2^n (P + nQ) + 0^n R = 2^n (P + nQ) An=2n(P+nQ)+0nR=2n(P+nQ) n ≥ 1 n \geq 1 n1 成立),其中 P , Q P,Q P,Q 由以下方程组确定

{ A 1 = 2 1 ( P + Q ) A 2 = 2 2 ( P + 2 Q ) \begin{cases} A^1 = 2^1 (P + Q) \\ A^2 = 2^2 (P + 2Q) \\ \end{cases} {A1=21(P+Q)A2=22(P+2Q)

以下解方程过程省略。


【例 5】已知 A = [ 0 0 0 1 2 1 1 0 0 ] A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} A= 011020010 ,求 A n A^n An

【解】特征多项式为 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ 2 ( λ − 2 ) = 0 f(\lambda) = |\lambda E - A| = \lambda^2(\lambda - 2) = 0 f(λ)=λEA=λ2(λ2)=0,解得 λ 1 = λ 2 = 0 , λ 3 = 2 \lambda_1 = \lambda_2 = 0, \lambda_3 = 2 λ1=λ2=0,λ3=2,则通解设为 A n = 0 n ( P + n Q ) + 2 n R = 2 n R A^n = 0^n (P + nQ) + 2^n R = 2^n R An=0n(P+nQ)+2nR=2nR n ≥ 2 n \geq 2 n2 成立),其中 R R R 由以下方程确定

A 2 = 2 2 R A^2 = 2^2 R A2=22R

解得

A n = 2 n 4 A 2 = 2 n − 2 A 2 ( n ≥ 2 ) A^n = \frac{2^n}{4} A^2 = 2^{n-2} A^2 (n \geq 2) An=42nA2=2n2A2n2

你可能感兴趣的:(考研数学,矩阵,线性代数)