代码随想录第四十一天 | 动态规划：整数拆分（343，加贪心）；不同的二叉搜索树（96）

1、leetcode 343：整数拆分

1.1 leetcode 343：动态规划

第一遍代码没思路

代码随想录思路
看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个…
我们来看一下如何使用动规来解决

动规五部曲，分析如下：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]，dp[i]的定义将贯彻整个解题过程

2、确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i]：一个是j * (i - j) 直接相乘，一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)

j怎么就不拆分呢？
j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的
递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

其实这个递推公式覆盖了所有的拆分情况了，因为dp计算的过程中还包含 与更小的 数的拆分dp 乘积的比较
也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以上个数的数相乘，因为dp[i - j]一定是拆成了两个或以上的数的乘积形式，所以缺少了仅仅拆成两个数的时候比较大小，所以需要j * (i - j)

如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了
所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

那么在取最大值的时候，为什么还要**比较dp[i]**呢？
因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已

3、dp的初始化
不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化加粗样式多少呢？
有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了
严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值
拆分0和拆分1的最大乘积是多少？这是无解的

这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议

4、确定遍历顺序
确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]
所以遍历顺序为：

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

注意 枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义了
j的结束条件是 j < i - 1，因为初始值是从下标为2开始的，而且 例如让j = i - 1，的话，其实在 j = 1的时候，这一步就已经拆出来了，重复计算。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来

更优化一步，可以这样：

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的，只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值，那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值

5、举例推导dp数组
举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：

根据思路写代码：

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

1.2 leetcode 343：贪心

本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性
代码随想录C++代码如下：

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n == 2) return 1;
        if (n == 3) return 2;
        if (n == 4) return 4;
        int result = 1;
        while (n > 4) {
            result *= 3;
            n -= 3;
        }
        result *= n;
        return result;
    }
};

2、不同的二叉搜索树

2.1 leetcode 96：不同的二叉搜索树

第一遍代码还是没思路

代码随想录思路

n为1的时候有一棵树，n为2有两棵树，这个是很直观的

来看看n为3的时候，有哪几种情况
当1为头结点的时候，其右子树有两个节点，看这两个节点的布局，和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的（注意是布局，即形状），当3为头结点的时候，其左子树有两个节点，看这两个节点的布局，和n为2的时候两棵树的布局也是一样的，当2为头结点的时候，其左右子树都只有一个节点，布局和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的

发现到这里，其实我们就找到了重叠子问题了，其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来**dp[3]**的某种方式
dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
如图所示：

此时我们已经找到递推关系了，那么可以用动规五部曲再系统分析一遍
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]
也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ，都是一样的

2、确定递推公式
在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止
所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3、dp数组如何初始化
初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]

那么dp[0]应该是多少呢？
从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的
从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了，所以初始化dp[0] = 1

4、确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态，那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历

代码如下：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
    }
}

5、举例推导dp数组
n为5时候的dp数组状态如图：

当然如果自己画图举例的话，基本举例到n为3就可以了，n为4的时候，画图已经比较麻烦了
我这里列到了n为5的情况，是为了方便大家 debug代码的时候，把dp数组打出来，看看哪里有问题

根据思路写代码：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0); //别忘了赋初值
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += (dp[j - 1] * dp[i - j]); 
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

综上分析完毕，代码随想录C++代码如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];//不用加括号
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度：O(n²)
空间复杂度：$O(n)$

2.2 leetcode 96：总结

首先这道题想到用动规的方法来解决，就不太好想，需要举例，画图，分析，才能找到递推的关系
然后难点就是确定递推公式了，如果把递推公式想清楚了，遍历顺序和初始化，就是自然而然的事情了