Leetcode刷题详解——汉诺塔问题

1. 题目链接：面试题 08.06. 汉诺塔问题

2. 题目描述：

在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。

请编写程序，用栈将所有盘子从第一根柱子移到最后一根柱子。

你需要原地修改栈。

示例1:

 输入：A = [2, 1, 0], B = [], C = []
 输出：C = [2, 1, 0]

示例2:

 输入：A = [1, 0], B = [], C = []
 输出：C = [1, 0]

提示:

1. A中盘子的数目不大于14个。

3. 解法（递归）

3.1 算法思路：

1. 假设 n=1，只有一个盘子，直接把它从A拿出来，移动到C上

2. 如果n=2呢？这时候我们就要借助B了，因为小盘子必须时刻都在大盘子上面，共需要3步（为了方便叙述，记A中盘子从上到下为1号、2号：

3. 如果n>2呢？这是我们需要用到n=2时的策略，将A上面的两个盘子挪到B上，再将最大的盘子挪到C上，最后将B上的小盘子挪到C上就完成了所有的的步骤。例如n=3如下图：

因为A中最后处理的是最大的盘子，所以在移动的过程中不存在大盘子在小盘子上面的情况

本题的操作：

1. 对于规模为n的问题，我们需要将A柱上的n个盘子移动到C柱上

2. 规模为n的问题可以被拆分成规模为n-1的子问题：

   1. 将A柱上的上面n-1个盘子移动到B柱上
   2. 将A柱上的最大盘子移动到C柱上，然后B柱上的n-1个盘子移动到C柱上

3. 当问题的规模变为n=1时，即只有一个盘子时，我们可以直接将其从A柱移动到C柱

3.2 算法流程：

递归函数设计： void dfs(vector& a, vector& b, vector& c,int n)

1. 返回值：无

2. 参数：三个柱子上的盘子，当前需要处理的盘子个数（当前问题规模）

3. 函数作用：将A中的上面n个盘子挪到C中

递归函数流程：

1. 当前问题规模为n=1时，直接将A中最上面盘子挪到C中并返回
2. 递归将A中最上面的n-1个盘子挪到B中
3. 将A中最上面的一个盘子挪到C中
4. 将B中上面n-1个盘子挪到C中

3.3 C++算法代码：

class Solution {
public:
    void hanota(vector& a, vector& b, vector& c) {
        dfs(a,b,c,a.size());

    }
    void dfs(vector& a, vector& b, vector& c,int n)
    {
        //如果n为1时，将a放到c上
        if(n==1)
        {
            c.push_back(a.back());
            a.pop_back();
            return;
        }
        //将a的最上面的n-1个盘子放到b上
        dfs(a,c,b,n-1);
        //将a的最后一个盘子放到c上
        c.push_back(a.back());
        a.pop_back();
        //将b的最上面的n-1个盘子放到c上
        dfs(b,a,c,n-1);
    }
   
};