softmax回归的简洁实现

我们发现(通过深度学习框架的高级API能够使实现) (softmax) 线性(回归变得更加容易)。 同样，通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现softmax回归模型。 本节如在 :numref:sec_softmax_scratch中一样， 继续使用Fashion-MNIST数据集，并保持批量大小为256。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

初始化模型参数

 [softmax回归的输出层是一个全连接层]。 因此，为了实现我们的模型， 我们只需在Sequential中添加一个带有10个输出的全连接层。 同样，在这里Sequential并不是必要的， 但它是实现深度模型的基础。 我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。

# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);

重新审视Softmax的实现

我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。 从数学上讲，这是一件完全合理的事情。 然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。

回想一下，softmax函数̂ =exp()∑exp()y^j=exp⁡(oj)∑kexp⁡(ok)， 其中̂ y^j是预测的概率分布。 oj是未规范化的预测o的第j个元素。 如果ok中的一些数值非常大， 那么exp()exp⁡(ok)可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。 这将使分母或分子变为inf（无穷大）， 最后得到的是0、inf或nan（不是数字）的̂ y^j。 在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。

解决这个问题的一个技巧是： 在继续softmax计算之前，先从所有ok中减去max()max(ok)。 你可以看到每个ok按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：

̂ =exp(−max())exp(max())∑exp(−max())exp(max())=exp(−max())∑exp(−max()).y^j=exp⁡(oj−max(ok))exp⁡(max(ok))∑kexp⁡(ok−max(ok))exp⁡(max(ok))=exp⁡(oj−max(ok))∑kexp⁡(ok−max(ok)).

在减法和规范化步骤之后，可能有些−max()oj−max(ok)具有较大的负值。 由于精度受限，exp(−max())exp⁡(oj−max(ok))将有接近零的值，即下溢（underflow）。 这些值可能会四舍五入为零，使̂ y^j为零， 并且使得log(̂ )log⁡(y^j)的值为-inf。 反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。

尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。 通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。 如下面的等式所示，我们避免计算exp(−max())exp⁡(oj−max(ok))， 而可以直接使用−max()oj−max(ok)，因为log(exp(⋅))log⁡(exp⁡(⋅))被抵消了。

log(̂ )=log(exp(−max())∑exp(−max()))=log(exp(−max()))−log(∑exp(−max()))=−max()−log(∑exp(−max())).log⁡(y^j)=log⁡(exp⁡(oj−max(ok))∑kexp⁡(ok−max(ok)))=log⁡(exp⁡(oj−max(ok)))−log⁡(∑kexp⁡(ok−max(ok)))=oj−max(ok)−log⁡(∑kexp⁡(ok−max(ok))).

我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。 但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中， 而是[在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数]， 这是一种类似"LogSumExp技巧"的聪明方式。

loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

优化算法

在这里，我们(使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法)。 这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)

训练

num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

 

和以前一样，这个算法使结果收敛到一个相当高的精度，而且这次的代码比之前更精简了。

小结

• 使用深度学习框架的高级API，我们可以更简洁地实现softmax回归。
• 从计算的角度来看，实现softmax回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。