基于动力学模型的机械臂滑膜控制

一、滑模控制设计思路

参考资料：https://zhuanlan.zhihu.com/p/463230163（思路理解）
https://blog.csdn.net/xiaohejiaoyiya/article/details/90271529（干扰的处理）

• 滑模控制的思路有两个关键，一个是设计滑模面，另一个是李雅普诺夫反推滑模面控制律

1、设计滑模面

• 滑模面有很多种，线性、二次型等，这里介绍线性的，选择何种滑模面的关键是看被控对象的
• 滑模面数学形式如下：
  
  当s=0时，根据微分方程的分离变量法，可知误差e指数级趋于0

2、李雅普诺夫反推滑模面s控制律

• 通过上面的论述可知，一旦s趋于0，则误差也会趋于0。至此，问题从设计控制律u使得误差e趋于0，变成了设计控制律u使得s趋于0。
• 如果增加控制律后，系统关于s的李雅普诺夫函数符合稳定性判定条件，则在有限时间内s一定会趋于0。进而，问题转变成了设计控制律使得关于s的李雅普诺夫函数符合收敛条件。

二、举例计算

1、控制对象动力学模型

2、控制目标

3、设计滑模面

• 这里考虑轨迹跟踪问题，θd也是关于时间的函数

4、设计李雅普诺夫函数

5、反推控制律

（1）分析李雅普诺夫函数V

• 根据李雅普诺夫的判定性质，只要V>0，$\dot{V}$<0，即可证明稳定。V明显大于0，所以重点是$\dot{V}$的分析。
  
  根据上式可知，只要设计合适的控制量u，使得$\dot{V}$小于0，即可达到目标。

（2）反推控制器u

• 之后就要去反推了，相较于靠直觉写控制器再用李雅普诺夫函数判定要明确了许多，但是仍然没那么好写。幸好已经有人总结了常见的设计方法，也就是$\dot{V}$的趋近律。常见的趋近律如下所示：
  
  分别为等速、指数、幂次趋近律
• 以等速趋近律为例，分析李雅普诺夫条件
  
• 根据趋近律计算控制器
  

（3）处理干扰项d

• 离完成控制器的设计还有最后一项d要处理，在上面提到的控制律中存在干扰d，可是干扰本来就没法测量。看到过有人在分析这里时，直接给出一个干扰最大值，然后和趋近律合并在一起，这就比较难理解为什么了，合并后一定符合李雅普诺夫条件吗？当然，经过计算其实是符合的，否则人家也不会那么写，但是确实比较难理解。

• 可以先不管干扰d，直接用没有d的控制律做u，控制律如下所示：
  

• 在保持控制律的情况下，重新在$\ddot{\theta }$和u的关系中考虑d，再进行李雅普诺夫分析
  
  这里最后那个放缩不容易一眼看出来，代几个数进去应该是正确的，人家推到最后都是直接L，不知道为啥这里有个J，但是这是惯量常数，影响不大。

• 如果想$\dot{V}$小于0，则ε要大于L/J。所以控制器中的ε是一个大于L/J的值，而下面截图中（图里ε对应η）这种将两个参数合并的写法，ε只要大于0即可，所以二者实质是一样的

三、基于计算力矩法的滑模控制

参考：https://www.bilibili.com/video/BV13N4y1k7Cb/?spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_default_collection.content.click&vd_source=a686d8f8b0e9b94066f2d4ba714466e7

• 可以想一想上面说的干扰d到底对应着什么，可以是外力扰动，比如风阻、摩擦；甚至可以是动力学模型参数中的误差。这里之前有一个误解，以为模型中的耦合项c也可以认为是干扰，实际是不行的，因为其变化比较大，这里使用计算力矩法规避了这一问题，并使用鲁棒项抑制了误差。
  
  截图中，最后说系统变成了一个带干扰的线性系统，实际就是将所有参数误差全看成了干扰。比较特别的点在于定义了一个间接控制量v，建立v的控制器后，力矩T可以通过v计算。v控制器的建立过程就和普通滑模控制器的建立过程没有区别。